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Fonction exponentielle
Savoir résoudre des inéquations avec les exponentielles - Exercice 2
10 min
25
Résoudre les inéquations suivantes sur
R
\mathbb{R}
R
.
Question 1
e
x
>
e
4
x
+
2
e^{x} >e^{4x+2}
e
x
>
e
4
x
+
2
Correction
e
A
≥
e
B
⇔
A
≥
B
e^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B
e
A
≥
e
B
⇔
A
≥
B
ou encore
e
A
>
e
B
⇔
A
>
B
e^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
e
A
>
e
B
⇔
A
>
B
e
A
≤
e
B
⇔
A
≤
B
e^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B
e
A
≤
e
B
⇔
A
≤
B
ou encore
e
A
<
e
B
⇔
A
<
B
e^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
e
A
<
e
B
⇔
A
<
B
e
x
>
e
4
x
+
2
e^{x} >e^{4x+2}
e
x
>
e
4
x
+
2
équivaut successivement à :
x
>
4
x
+
2
x>4x+2
x
>
4
x
+
2
x
−
4
x
>
2
x-4x>2
x
−
4
x
>
2
−
3
x
>
2
-3x>2
−
3
x
>
2
x
<
2
−
3
x<\frac{2}{-3}
x
<
−
3
2
D'où :
x
<
−
2
3
x<-\frac{2}{3}
x
<
−
3
2
Ainsi :
S
=
]
−
∞
;
−
2
3
[
S=\left]-\infty ;-\frac{2}{3}\right[
S
=
]
−
∞
;
−
3
2
[
Question 2
e
3
x
+
4
≥
−
e
−
2
x
+
3
e^{3x+4} \ge -e^{-2x+3}
e
3
x
+
4
≥
−
e
−
2
x
+
3
Correction
e
3
x
+
4
e^{3x+4}
e
3
x
+
4
est
strictement positive
alors que
−
e
−
2
x
+
3
-e^{-2x+3}
−
e
−
2
x
+
3
est
strictement négative.
Donc
e
3
x
+
4
≥
−
e
−
2
x
+
3
e^{3x+4} \ge -e^{-2x+3}
e
3
x
+
4
≥
−
e
−
2
x
+
3
est toujours vraie quelque soit le réel
x
x
x
.
Ainsi :
S
=
]
−
∞
;
+
∞
[
S=\left]-\infty ;+\infty \right[
S
=
]
−
∞
;
+
∞
[