Fonction exponentielle

Savoir résoudre des inéquations avec les exponentielles - Exercice 2

10 min
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Résoudre les inéquations suivantes sur R\mathbb{R}.
Question 1

ex>e4x+2e^{x} >e^{4x+2}

Correction
  • eAeBABe^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eBA>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
  • eAeBABe^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eBA<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
ex>e4x+2e^{x} >e^{4x+2} équivaut successivement à :
x>4x+2x>4x+2
x4x>2x-4x>2
3x>2-3x>2
x<23x<\frac{2}{-3}
D'où :
x<23x<-\frac{2}{3}

Ainsi : S=];23[S=\left]-\infty ;-\frac{2}{3}\right[
Question 2

e3x+4e2x+3e^{3x+4} \ge -e^{-2x+3}

Correction
e3x+4e^{3x+4} est strictement positive alors que e2x+3-e^{-2x+3} est strictement négative.
Donc e3x+4e2x+3e^{3x+4} \ge -e^{-2x+3} est toujours vraie quelque soit le réel xx.
Ainsi :
S=];+[S=\left]-\infty ;+\infty \right[