Savoir résoudre des équations avec les exponentielles - Exercice 3

$$\left(e^{3x} -1\right)\left(4x-20\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul :
Il en résulte donc que : $$e^{3x} -1=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$4x-20=0$$
Ainsi :
$$\text{\blue{D'une part : }}$$
$$e^{3x} -1=0\Leftrightarrow e^{3x} =1\Leftrightarrow e^{3x} =e^{0} \Leftrightarrow 3x=0\Leftrightarrow x=\frac{0}{3} \Leftrightarrow x=0$$
$$\text{\blue{D'autre part : }}$$
$$4x-20=0\Leftrightarrow 4x=20\Leftrightarrow x=\frac{20}{4} \Leftrightarrow x=5$$
Les solutions de l'équation $$\left(e^{3x} -1\right)\left(4x-20\right)=0$$ sont donc :

$$2x\red{e^{x}} -5\red{e^{x}} =0$$ . Nous allons commencer à factoriser par $$\red{e^{x}}$$ .
$$\red{e^{x}} \left(2x-5\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul :
Il en résulte donc que : $$e^{x}=0$$ $$\text{\purple{ou}}$$ $$2x-5=0$$
$$\text{\blue{D'une part : }}$$
$$e^{x}=0$$ . Comme une exponentielle est strictement positive alors $$e^{x}=0$$ n'admet pas de solution .
$$\text{\blue{D'autre part : }}$$
$$2x-5=0\Leftrightarrow 2x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$$
La solution de l'équation $$2xe^{x} -5e^{x} =0$$ est donc :

$$e^{x} \left(x^{2} -3x+2\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul :
Il en résulte donc que : $$e^{x}=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$x^{2} -3x+2=0$$
Ainsi :
$$\text{\blue{D'une part : }}$$
$$e^{x}=0$$ . Comme une exponentielle est strictement positive alors $$e^{x}=0$$ n'admet pas de solution.
$$\text{\blue{D'autre part : }}$$
$$x^{2} -3x+2=0$$
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =\left(-3\right)^{2} -4\times 1\times 2$$
$$\Delta =9-8=1$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{1} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{1} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =2$$
Les solutions de l'équation $$e^{x} \left(x^{2} -3x+2\right)=0$$ sont donc :

$$\left(e^{x} -e^{4} \right)\left(e^{-x} +7\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul :
Il en résulte donc que : $$e^{x} -e^{4}=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$e^{-x} +7=0$$
Ainsi :
$$\text{\blue{D'une part : }}$$
$$e^{x} -e^{4} =0\Leftrightarrow e^{x} =e^{4} \Leftrightarrow x=4$$
$$\text{\blue{D'autre part : }}$$
$$e^{-x} +7=0\Leftrightarrow e^{-x} =-7$$ . Comme une exponentielle est strictement positive alors $$e^{-x}=-7$$ n'admet pas de solution.

$$5e^{3x+2} -4=1$$ équivaut successivement à :
$$5e^{3x+2} =1+4$$
$$5e^{3x+2} =5$$
$$e^{3x+2} =\frac{5}{5}$$
$$e^{3x+2} =1$$
$$e^{3x+2} =e^{0}$$
$$3x+2=0$$
$$3x=-2$$
$$x=\frac{-2}{3}$$
La solution de l'équation $$5e^{3x+2} -4=1$$ est donc :

$$e^{2x-5} =\frac{e^{-3x} }{e}$$ équivaut successivement à :
$$e^{2x-5} =\frac{e^{-3x} }{e^{1} }$$
$$e^{2x-5} =e^{-3x-1}$$
$$2x-5=-3x-1$$
$$2x+3x=-1+5$$
$$5x=4$$
$$x=\frac{4}{5}$$
La solution de l'équation $$e^{2x-5} =\frac{e^{-3x} }{e}$$ est donc :