Ici, on a utilisé le discriminant pour résoudre l'équation : x2−4x+3=0 Donc
S={1;3}
10
e5x+2=−ex2
Correction
Pour tout réel x, on sait que : e5x+2>0 et que ex2>0. Ainsi : −ex2<0 Il en résulte que cette équation n'a pas de solutions.
S=∅
11
ex2−1=1
Correction
e0=1
eA=eB⇔A=B
ex2−1=1 équivaut successivement à : ex2−1=e0 x2−1=0 x2=1 x=1 ou x=−1 x=1 ou x=−1 Donc
S={−1;1}
12
ex2=e−19
Correction
eA=eB⇔A=B
ex2=e−19 équivaut successivement à : x2=−19 Equation impossible à résoudre car un carré est positif ou nul.
S=∅
13
ex(2ex−2)=0
Correction
ex(2ex−2)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul. ex=0 ou 2ex−2=0
D’une part : résolvons ex=0 . Equation impossible à résoudre car une exponentielle est strictement positive.
D’autre part : résolvons 2ex−2=0
Ainsi : 2ex−2=0⇔2ex=2⇔ex=22⇔ex=1⇔ex=e0⇔x=0 La solution de l'équation est alors :
S={0}
Exercice 3
Résoudre les équations suivantes sur R.
1
(e3x−1)(4x−20)=0
Correction
e0=1
eA=eB⇔A=B
(e3x−1)(4x−20)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul : Il en résulte donc que : e3x−1=0ou4x−20=0 Ainsi : D’une part : e3x−1=0⇔e3x=1⇔e3x=e0⇔3x=0⇔x=30⇔x=0 D’autre part : 4x−20=0⇔4x=20⇔x=420⇔x=5 Les solutions de l'équation (e3x−1)(4x−20)=0 sont donc :
S={0;5}
2
2xex−5ex=0
Correction
2xex−5ex=0 . Nous allons commencer à factoriser par ex . ex(2x−5)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul : Il en résulte donc que : ex=0ou2x−5=0 D’une part : ex=0 . Comme une exponentielle est strictement positive alors ex=0 n'admet pas de solution . D’autre part : 2x−5=0⇔2x=5⇔x=25 La solution de l'équation 2xex−5ex=0 est donc :
S={25}
3
ex(x2−3x+2)=0
Correction
ex(x2−3x+2)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul : Il en résulte donc que : ex=0oux2−3x+2=0 Ainsi : D’une part : ex=0 . Comme une exponentielle est strictement positive alors ex=0 n'admet pas de solution. D’autre part : x2−3x+2=0 Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−3)2−4×1×2 Δ=9−8=1 Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×1−(−3)−1 d'où x1=1 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×1−(−3)+1 d'où x2=2 Les solutions de l'équation ex(x2−3x+2)=0 sont donc :
S={1;2}
4
(ex−e4)(e−x+7)=0
Correction
eA=eB⇔A=B
(ex−e4)(e−x+7)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul : Il en résulte donc que : ex−e4=0oue−x+7=0 Ainsi : D’une part : ex−e4=0⇔ex=e4⇔x=4 D’autre part : e−x+7=0⇔e−x=−7 . Comme une exponentielle est strictement positive alors e−x=−7 n'admet pas de solution.
5
5e3x+2−4=1
Correction
e0=1
eA=eB⇔A=B
5e3x+2−4=1 équivaut successivement à : 5e3x+2=1+4 5e3x+2=5 e3x+2=55 e3x+2=1 e3x+2=e0 3x+2=0 3x=−2 x=3−2 La solution de l'équation 5e3x+2−4=1 est donc :
S={−32}
6
e2x−5=ee−3x
Correction
e1=e
eBeA=eA−B
eA=eB⇔A=B
e2x−5=ee−3x équivaut successivement à : e2x−5=e1e−3x e2x−5=e−3x−1 2x−5=−3x−1 2x+3x=−1+5 5x=4 x=54 La solution de l'équation e2x−5=ee−3x est donc :
S={54}
Exercice 4
Résoudre les équation suivantes sur R.
1
e2x+2ex−3=0
Correction
On écrit l'équation e2x+2ex−3=0 sous la forme (ex)2+2ex−3=0 On va effectuer un changement de variable. On pose X=ex Il en résulte que {X2+2X−3=0X=ex. On utilise le discriminant
Δ=16
. Il existe donc deux racines réelles distinctes notées X1 et X2 tels que X1=2a−b−Δ et X2=2a−b+Δ X1=−3 et X2=1. Or nous avons posé X=ex, il en résulte que ex=−3 ou encore ex=1
Résolvons d'une part ex=1. Il vient alors que ex=1⇔ex=e0⇔
x=0
Résolvons d'autre part ex=−3. Or ex>0 , donc l'équation ex=−3 n'a pas de solution.
Finalement la solution de l'équation e2x+2ex−3=0 est
S={0}
2
e2x+4ex−5=0
Correction
On écrit l'équation e2x+4ex−5=0 sous la forme (ex)2+4ex−5=0 On va effectuer un changement de variable. On pose X=ex Il en résulte que {X2+4X−5=0X=ex. On utilise le discriminant
Δ=36
. Il existe donc deux racines réelles distinctes notées X1 et X2 tels que X1=2a−b−Δ et X2=2a−b+Δ X1=−5 et X2=1. Or nous avons posé X=ex, il en résulte que ex=−5 ou encore ex=1
Résolvons d'une part ex=1. Il vient alors que ex=1⇔ex=e0⇔
x=0
Résolvons d'autre part ex=−3. Or ex>0 , donc l'équation ex=−3 n'a pas de solution.
Finalement la solution de l'équation e2x+4ex−5=0 est
S={0}
3
ex+7−8e−x=0
Correction
Dans un premier temps, nous allons transformer l'équation ex+7−8e−x=0 . Nous multiplier de part et d'autre du signe égale par ex. Il vient : ex×(ex+7−8e−x)=ex×0 e2x+7ex−8=0 On écrit l'équation e2x+7ex−8=0 sous la forme (ex)2+7ex−8=0 On va effectuer un changement de variable. On pose X=ex Il en résulte que {X2+7X−8=0X=ex. On utilise le discriminant
Δ=81
. Il existe donc deux racines réelles distinctes notées X1 et X2 tels que X1=2a−b−Δ et X2=2a−b+Δ X1=−8 et X2=1. Or nous avons posé X=ex, il en résulte que ex=−8 ou encore ex=1
Résolvons d'une part ex=1. Il vient alors que ex=1⇔ex=e0⇔
x=0
Résolvons d'autre part ex=−8. Or ex>0 , donc l'équation ex=−8 n'a pas de solution.
Finalement la solution de l'équation ex+7−8e−x=0 est
S={0}
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