Savoir résoudre des équations avec les exponentielles

$e^{2x} =e^{4}$ équivaut successivement à :
$2x=4$
$x=\frac{4}{2}$

Donc $S=\left\{2 \right\}$

$e^{3x+12} =1$ équivaut successivement à :
$e^{3x+12} =e^{0}$
$3x+12=0$
$3x=-12$
$x=\frac{-12}{3}$

Donc $S=\left\{-4\right\}$

$e^{5x} =-4$
Equation impossible à résoudre car une exponentielle est strictement positive.

$e^{-8x+2} =e$ équivaut successivement à :
$e^{-8x+2} =e^{1}$
$-8x+2=1$
$-8x=1-2$
$-8x=-1$
$x=\frac{-1}{-8}$

Donc $S=\left\{\frac{1}{8}\right\}$

$e^{2x} \times e^{5x} =e^{14}$
$e^{2x+5x} =e^{14}$
$e^{7x} =e^{14}$
$7x=14$
$x=\frac{14}{7}$

Donc $S=\left\{2\right\}$

$\left(e^{3x+1} \right)^{2} =e^{x-1}$ équivaut successivement à :
$e^{\left(3x+1\right)\times 2} =e^{x-1}$
$e^{6x+2} =e^{x-1}$
$6x+2=x-1$
$6x=x-1-2$
$6x=x-3$
$6x-x=-3$
$5x=-3$

Donc $S=\left\{-\frac{3}{5}\right\}$

$\frac{e^{2x} }{e^{5x-2} } =e^{-4x+8}$ équivaut successivement à :
$e^{2x-\left(5x-2\right)} =e^{-4x+8}$
$e^{2x-5x+2} =e^{-4x+8}$
$e^{-3x+2} =e^{-4x+8}$
$-3x+2=-4x+8$
$-3x=-4x+8-2$
$-3x=-4x+6$
$-3x+4x=6$

Donc $S=\left\{6\right\}$

$e^{2x-3} =1$ équivaut successivement à :
$e^{2x-3} =e^{0}$
$2x-3=0$

Donc $S=\left\{\frac{3}{2} \right\}$

$e^{-x+1} =-1$. Equation impossible à résoudre car une exponentielle est strictement positive.

$e^{x+1} =e$ équivaut successivement à :
$e^{x+1} =e^{1}$
$x+1=1$

Donc $S=\left\{0\right\}$

$e^{3x+1} =e^{-4x+8}$ équivaut successivement à :
$3x+1=-4x+8$
$7x=7$

Donc $S=\left\{1\right\}$

$e^{-x+5} =e^{x} e^{2}$ équivaut successivement à :
$e^{-x+5} =e^{x+2}$
$-x+5=x+2$
$-2x=-3$

Donc $S=\left\{\frac{3}{2} \right\}$

$e^{3x+3} =e^{-4x+1} e^{6x+3}$ équivaut successivement à :
$e^{3x+3} =e^{-4x+1+6x+3}$
$e^{3x+3} =e^{2x+4}$
$3x+3=2x+4$
$3x-2x=4-3$

Donc $S=\left\{1\right\}$

$\frac{e^{2x+3} }{e^{5x+1} } =1$ équivaut successivement à :
$e^{2x+3-\left(5x+1\right)} =1$
$e^{2x+3-5x-1} =e^{0}$
$2x+3-5x-1=0$
$-3x=-2$

Donc $S=\left\{\frac{2}{3} \right\}$

$\frac{e^{2x+3} }{e^{5x+1} } =e^{x+2}$ équivaut successivement à :
$e^{2x+3-\left(5x+1\right)} =e^{x+2}$
$2x+3-\left(5x+1\right)=x+2$
$2x+3-5x-1=x+2$
$-3x+2=x+2$
$-3x-x=2-2$
$-4x=0$
$x=\frac{0}{-4}$

Donc

$e^{x^{2} } =e^{4x} e^{-3}$ équivaut successivement :
$e^{x^{2} } =e^{4x-3}$
$x^{2} =4x-3$
$x^{2} -4x+3=0$
Ici, on a utilisé le discriminant pour résoudre l'équation : $x^{2} -4x+3=0$
Donc

Pour tout réel $x$, on sait que : $e^{5x+2}>0$ et que $e^{x^{2}}>0$. Ainsi : $-e^{x^{2}}<0$
Il en résulte que cette équation n'a pas de solutions.

$e^{x^{2} -1} =1$ équivaut successivement à :
$e^{x^{2} -1} =e^{0}$
$x^{2} -1=0$
$x^{2} =1$
$x=\sqrt{1}$ ou $x=-\sqrt{1}$
$x=1$ ou $x=-1$
Donc

$e^{x^{2} } =e^{-19}$ équivaut successivement à :
$x^{2} =-19$
Equation impossible à résoudre car un carré est positif ou nul.

$e^{x} \left(2e^{x} -2\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$e^{x}=0$ ou $2e^{x} -2=0$

$\red{\text{D'une part :}}$ résolvons $e^{x}=0$ . Equation impossible à résoudre car une exponentielle est strictement positive.

$\red{\text{D'autre part :}}$ résolvons $2e^{x} -2=0$

Ainsi :
$2e^{x} -2=0\Leftrightarrow 2e^{x} =2\Leftrightarrow e^{x} =\frac{2}{2} \Leftrightarrow e^{x} =1\Leftrightarrow e^{x} =e^{0} \Leftrightarrow x=0$
La solution de l'équation est alors :

$\left(e^{3x} -1\right)\left(4x-20\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul :
Il en résulte donc que : $e^{3x} -1=0$ $\text{\red{ou}}$ $4x-20=0$
Ainsi :
$\text{\blue{D'une part : }}$
$e^{3x} -1=0\Leftrightarrow e^{3x} =1\Leftrightarrow e^{3x} =e^{0} \Leftrightarrow 3x=0\Leftrightarrow x=\frac{0}{3} \Leftrightarrow x=0$
$\text{\blue{D'autre part : }}$
$4x-20=0\Leftrightarrow 4x=20\Leftrightarrow x=\frac{20}{4} \Leftrightarrow x=5$
Les solutions de l'équation $\left(e^{3x} -1\right)\left(4x-20\right)=0$ sont donc :

$2x\red{e^{x}} -5\red{e^{x}} =0$ . Nous allons commencer à factoriser par $\red{e^{x}}$ .
$\red{e^{x}} \left(2x-5\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul :
Il en résulte donc que : $e^{x}=0$ $\text{\purple{ou}}$ $2x-5=0$
$\text{\blue{D'une part : }}$
$e^{x}=0$ . Comme une exponentielle est strictement positive alors $e^{x}=0$ n'admet pas de solution .
$\text{\blue{D'autre part : }}$
$2x-5=0\Leftrightarrow 2x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$
La solution de l'équation $2xe^{x} -5e^{x} =0$ est donc :

$e^{x} \left(x^{2} -3x+2\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul :
Il en résulte donc que : $e^{x}=0$ $\text{\red{ou}}$ $x^{2} -3x+2=0$
Ainsi :
$\text{\blue{D'une part : }}$
$e^{x}=0$ . Comme une exponentielle est strictement positive alors $e^{x}=0$ n'admet pas de solution.
$\text{\blue{D'autre part : }}$
$x^{2} -3x+2=0$
Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi : $\Delta =\left(-3\right)^{2} -4\times 1\times 2$
$\Delta =9-8=1$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$ telles que :
$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{1} =\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{1} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{1} =1$
$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{2} =\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{1} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{2} =2$
Les solutions de l'équation $e^{x} \left(x^{2} -3x+2\right)=0$ sont donc :

$\left(e^{x} -e^{4} \right)\left(e^{-x} +7\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul :
Il en résulte donc que : $e^{x} -e^{4}=0$ $\text{\red{ou}}$ $e^{-x} +7=0$
Ainsi :
$\text{\blue{D'une part : }}$
$e^{x} -e^{4} =0\Leftrightarrow e^{x} =e^{4} \Leftrightarrow x=4$
$\text{\blue{D'autre part : }}$
$e^{-x} +7=0\Leftrightarrow e^{-x} =-7$ . Comme une exponentielle est strictement positive alors $e^{-x}=-7$ n'admet pas de solution.

$5e^{3x+2} -4=1$ équivaut successivement à :
$5e^{3x+2} =1+4$
$5e^{3x+2} =5$
$e^{3x+2} =\frac{5}{5}$
$e^{3x+2} =1$
$e^{3x+2} =e^{0}$
$3x+2=0$
$3x=-2$
$x=\frac{-2}{3}$
La solution de l'équation $5e^{3x+2} -4=1$ est donc :

$e^{2x-5} =\frac{e^{-3x} }{e}$ équivaut successivement à :
$e^{2x-5} =\frac{e^{-3x} }{e^{1} }$
$e^{2x-5} =e^{-3x-1}$
$2x-5=-3x-1$
$2x+3x=-1+5$
$5x=4$
$x=\frac{4}{5}$
La solution de l'équation $e^{2x-5} =\frac{e^{-3x} }{e}$ est donc :

On écrit l'équation $e^{2x} +2e^{x} -3=0$ sous la forme $\left(e^{x} \right)^{2} +2e^{x} -3=0$
On va effectuer un changement de variable. On pose $X=e^{x}$
Il en résulte que $\left\{\begin{array}{c} {X^{2} +2X-3=0} \\ {X=e^{x} } \end{array}\right.$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $X_{1}$ et $X_{2}$ tels que
$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ et $X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$
$X_{1} =-3$ et $X_{2} =1$.
Or nous avons posé $X=e^{x}$, il en résulte que
$e^{x} =-3$ ou encore $e^{x} =1$

Résolvons d'une part $e^{x} =1$. Il vient alors que $e^{x} =1\Leftrightarrow e^{x} =e^{0} \Leftrightarrow$

$x=0$

Résolvons d'autre part $e^{x} =-3$. Or $e^{x} >0$ , donc l'équation $e^{x} =-3$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $e^{2x} +2e^{x} -3=0$ est

On écrit l'équation $e^{2x} +4e^{x} -5=0$ sous la forme $\left(e^{x} \right)^{2} +4e^{x} -5=0$
On va effectuer un changement de variable. On pose $X=e^{x}$
Il en résulte que $\left\{\begin{array}{c} {X^{2} +4X-5=0} \\ {X=e^{x} } \end{array}\right.$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $X_{1}$ et $X_{2}$ tels que
$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ et $X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$
$X_{1} =-5$ et $X_{2} =1$.
Or nous avons posé $X=e^{x}$, il en résulte que
$e^{x} =-5$ ou encore $e^{x} =1$

Résolvons d'une part $e^{x} =1$. Il vient alors que $e^{x} =1\Leftrightarrow e^{x} =e^{0} \Leftrightarrow$

$x=0$

Résolvons d'autre part $e^{x} =-3$. Or $e^{x} >0$ , donc l'équation $e^{x} =-3$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $e^{2x} +4e^{x} -5=0$ est

Dans un premier temps, nous allons transformer l'équation $e^{x} +7 -8e^{-x}=0$ . Nous multiplier de part et d'autre du signe égale par $e^{x}$. Il vient :
$e^{x}\times\left(e^{x} +7 -8e^{-x}\right)=e^{x}\times0$
$e^{2x} +7e^{x} -8=0$
On écrit l'équation $e^{2x} +7e^{x} -8=0$ sous la forme $\left(e^{x} \right)^{2} +7e^{x} -8=0$
On va effectuer un changement de variable. On pose $X=e^{x}$
Il en résulte que $\left\{\begin{array}{c} {X^{2} +7X-8=0} \\ {X=e^{x} } \end{array}\right.$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $X_{1}$ et $X_{2}$ tels que
$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ et $X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$
$X_{1} =-8$ et $X_{2} =1$.
Or nous avons posé $X=e^{x}$, il en résulte que
$e^{x} =-8$ ou encore $e^{x} =1$

Résolvons d'une part $e^{x} =1$. Il vient alors que $e^{x} =1\Leftrightarrow e^{x} =e^{0} \Leftrightarrow$

$x=0$

Résolvons d'autre part $e^{x} =-8$. Or $e^{x} >0$ , donc l'équation $e^{x} =-8$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $e^{x} +7 -8e^{-x}=0$ est