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Savoir résoudre des équations avec les exponentielles - Exercice 1

10 min
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Résoudre les équations suivantes sur R\mathbb{R}.
Question 1

e2x=e4e^{2x} =e^{4}

Correction
  • eA=eB⇔A=Be^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
    • e2x=e4e^{2x} =e^{4} équivaut successivement à :
    2x=42x=4
    x=42x=\frac{4}{2}
    x=2x=2

    Donc S={2}S=\left\{2 \right\}
    Question 2

    e3x+12=1e^{3x+12} =1

    Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eA=eB⇔A=Be^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
    • e3x+12=1e^{3x+12} =1 équivaut successivement à :
    e3x+12=e0e^{3x+12} =e^{0}
    3x+12=03x+12=0
    3x=−123x=-12
    x=−123x=\frac{-12}{3}
    x=−4x=-4

    Donc S={−4}S=\left\{-4\right\}
    Question 3

    e5x=−4e^{5x} =-4

    Correction
    e5x=−4e^{5x} =-4
    Equation impossible à résoudre car une exponentielle est strictement positive.
    S=∅S=\emptyset
    Question 4

    e−8x+2=ee^{-8x+2} =e

    Correction
  • eA=eB⇔A=Be^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
    • e−8x+2=ee^{-8x+2} =e équivaut successivement à :
    e−8x+2=e1e^{-8x+2} =e^{1}
    −8x+2=1-8x+2=1
    −8x=1−2-8x=1-2
    −8x=−1-8x=-1
    x=−1−8x=\frac{-1}{-8}
    x=18x=\frac{1}{8}

    Donc S={18}S=\left\{\frac{1}{8}\right\}
    Question 5

    e2x×e5x=e14e^{2x} \times e^{5x} =e^{14}

    Correction
  • eA×eB=eA+Be^{A}\times e^{B}=e^{A+B}
  • eA=eB⇔A=Be^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
    • e2x×e5x=e14e^{2x} \times e^{5x} =e^{14}
    e2x+5x=e14e^{2x+5x} =e^{14}
    e7x=e14e^{7x} =e^{14}
    7x=147x=14
    x=147x=\frac{14}{7}
    x=2x=2

    Donc S={2}S=\left\{2\right\}
    Question 6

    (e3x+1)2=ex−1\left(e^{3x+1} \right)^{2} =e^{x-1}

    Correction
  • (eA)B=eA×B\left(e^{A} \right)^{B} =e^{A\times B}
  • eA=eB⇔A=Be^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
    • (e3x+1)2=ex−1\left(e^{3x+1} \right)^{2} =e^{x-1} équivaut successivement à :
    e(3x+1)×2=ex−1e^{\left(3x+1\right)\times 2} =e^{x-1}
    e6x+2=ex−1e^{6x+2} =e^{x-1}
    6x+2=x−16x+2=x-1
    6x=x−1−26x=x-1-2
    6x=x−36x=x-3
    6x−x=−36x-x=-3
    5x=−35x=-3
    x=−35x=-\frac{3}{5}

    Donc S={−35}S=\left\{-\frac{3}{5}\right\}
    Question 7

    e2xe5x−2=e−4x+8\frac{e^{2x} }{e^{5x-2} } =e^{-4x+8}

    Correction
  • eAeB=eA−B\frac{e^{A}}{ e^{B}}=e^{A-B}
  • eA=eB⇔A=Be^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
    • e2xe5x−2=e−4x+8\frac{e^{2x} }{e^{5x-2} } =e^{-4x+8} équivaut successivement à :
    e2x−(5x−2)=e−4x+8e^{2x-\left(5x-2\right)} =e^{-4x+8}
    e2x−5x+2=e−4x+8e^{2x-5x+2} =e^{-4x+8}
    e−3x+2=e−4x+8e^{-3x+2} =e^{-4x+8}
    −3x+2=−4x+8-3x+2=-4x+8
    −3x=−4x+8−2-3x=-4x+8-2
    −3x=−4x+6-3x=-4x+6
    −3x+4x=6-3x+4x=6
    x=6x=6

    Donc S={6}S=\left\{6\right\}

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