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Savoir étudier le signe d'expressions avec des exponentielles - Exercice 1

12 min
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Question 1
Déterminer le signe des fonctions suivantes sur R\mathbb{R} .

f(x)=2+exf\left(x\right)=2+e^{x}

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0 et de plus 2>02>0.
Il en résulte donc que 2+ex>02+e^{x}>0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)>0f\left(x\right)>0
Question 2

f(x)=−4exf\left(x\right)=-4e^{x}

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0 et de plus −4<0-4<0.
Il en résulte donc que −4ex<0-4e^{x}<0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)<0f\left(x\right)<0
Question 3

f(x)=−5−2exf\left(x\right)=-5-2e^{x}

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0. Or −2<0-2<0 ainsi −2ex<0-2e^{x}<0. De plus −5<0-5<0.
Il en résulte donc que −5−2ex<0-5-2e^{x}<0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)<0f\left(x\right)<0
Question 4

f(x)=2ex−2f\left(x\right)=2e^{x}-2

Correction
ff est définie sur R\mathbb{R} .
2ex−2≥02e^{x} -2\ge 0
2ex≥22e^{x} \ge 2
ex≥22e^{x} \ge \frac{2}{2}
ex≥1e^{x} \ge 1
ex≥e0e^{x} \ge e^{0}
x≥0x\ge 0
Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de f(x)f\left(x\right) lorsque xx sera supérieur ou égale à 00.
Il en résulte donc que :
  • si x∈]−∞;0]x\in\left]-\infty;0\right] alors f(x)≤0f\left(x\right)\le0 .
  • si x∈[0;+∞[x\in\left[0;+\infty\right[ alors f(x)≥0f\left(x\right)\ge0 .
Ainsi :

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