Quatre questions issues des sujets de Métropole (12 juin 2026) et d'Antilles-Guyane (12 juin et 11 septembre 2026) - Exercice 1

On sait que la formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse $$0$$ est : $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
D'une part :
$$f\left(x\right)=e^{x}-1$$ alors $$f\left(0\right)=e^{0}-1=1-1=0$$
D'autre part :
$$f'\left(x\right)=e^{x}$$ alors $$f'\left(0\right)=e^{0}=1$$

Ainsi : $$y=1\times\left(x-0\right)+0$$
Enfin :
Pour le point $$A\left(3;3\right)$$ : $$x_{A}=3$$ et $$y_{A}=3$$, donc $$y_{A}=x_{A}$$ : les coordonnées de $$A$$ vérifient l'équation de $$\mathcal{T}$$.Ainsi :

Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=3x-1$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3e^{x}+\left(3x-1\right)e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=3e^{x}+3xe^{x}-e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=3x{\color{blue}{e^{x}}}+2{\color{blue}{e^{x}}}$$

Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x}\gt 0$$.
$$3x+2\geqslant 0\Leftrightarrow 3x\geqslant -2\Leftrightarrow x\geqslant -\dfrac{2}{3}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$3x+2$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égal à $$-\dfrac{2}{3}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-\dfrac{2}{3}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\leqslant 0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-\dfrac{2}{3};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\geqslant 0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :La fonction $$f$$ est décroissante sur $$\left]-\infty;-\dfrac{2}{3}\right]$$ : elle n'est donc pas croissante sur $$\mathbb{R}$$.
Par exemple, $$f\left(-2\right)=-7e^{-2}\approx -0{,}95$$ et $$f\left(-1\right)=-4e^{-1}\approx -1{,}47$$ : on a $$-1\gt -2$$ mais $$f\left(-1\right)\lt f\left(-2\right)$$.
Ainsi :

On sait que la formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse $$0$$ est : $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
D'une part :
$$f\left(x\right)=\left(3x-1\right)e^{x}$$ alors $$f\left(0\right)=\left(3\times 0-1\right)e^{0}=-1$$
D'autre part :
$$f'\left(x\right)=e^{x}\left(3x+2\right)$$ (affirmation précédente) alors $$f'\left(0\right)=e^{0}\left(3\times 0+2\right)=2$$

Ainsi : $$y=2\left(x-0\right)-1$$
Enfin : Ainsi :

Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times e^{x}+x\times e^{x}$$

Pour tout réel $$x\geqslant 0$$ : $$e^{x}\gt 0$$ et $$1+x\geqslant 1\gt 0$$. Par produit, $$f'\left(x\right)\gt 0$$ sur $$\left[0;+\infty\right[$$, donc $$f$$ est strictement croissante sur cet intervalle.Ainsi :