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Les dérivées de la forme x↦eax+bx\mapsto e^{ax+b} - Exercice 2

20 min
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Question 1
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes sur R\mathbb{R}.

f(x)=2xe4xf\left(x\right)=2xe^{4x}

Correction
  • (eax+b)′=aeax+b\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2xu\left(x\right)=2x et v(x)=e4xv\left(x\right)=e^{{\color{blue}4}x} .
    Ainsi u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=4e4xv'\left(x\right)={\color{blue}4}e^{{\color{blue}4}x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2e4x+2x×4e4xf'\left(x\right)=2e^{4x} +2x\times 4e^{4x}
    f′(x)=2e4x+8xe4xf'\left(x\right)=2{\color{red}{e^{4x}}} +8x{\color{red}{e^{4x}}}
    f′(x)=e4x(2+8x)f'\left(x\right)={\color{red}{e^{4x}}} \left(2+8x\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 2

    f(x)=(3x+2)e5xf\left(x\right)=\left(3x+2\right)e^{5x}

    Correction
  • (eax+b)′=aeax+b\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=3x+2u\left(x\right)=3x+2 et v(x)=e5xv\left(x\right)=e^{{\color{blue}5}x} .
    Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=5e5xv'\left(x\right)={\color{blue}5}e^{{\color{blue}5}x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=3e5x+(3x+2)×5e5xf'\left(x\right)=3e^{5x} +\left(3x+2\right)\times 5e^{5x}
    f′(x)=3e5x+3x×5e5x+2×5e5xf'\left(x\right)=3e^{5x} +3x\times 5e^{5x} +2\times 5e^{5x}
    f′(x)=3e5x+15xe5x+10e5xf'\left(x\right)=3e^{5x} +15xe^{5x} +10e^{5x}
    f′(x)=13e5x+15xe5xf'\left(x\right)=13{\color{red}{e^{5x}}} +15x{\color{red}{e^{5x}}}
    f′(x)=e5x(13+15x)f'\left(x\right)={\color{red}{e^{5x}}} \left(13+15x\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 3

    f(x)=xe−xf\left(x\right)=xe^{-x} . Un classique

    Correction
  • (eax+b)′=aeax+b\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=e−1xv\left(x\right)=e^{{\color{blue}-1}x} .
    Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−1e−1x=−e−xv'\left(x\right)={\color{blue}-1}e^{{\color{blue}-1}x}= -e^{-x}.
    Il vient alors que :
    f′(x)=1e−x+x×(−e−x)f'\left(x\right)=1e^{-x} +x\times \left(-e^{-x} \right)
    f′(x)=e−x−xe−xf'\left(x\right)={\color{red}{e^{-x}}} -x{\color{red}{e^{-x}}}
    f′(x)=e−x(1−x)f'\left(x\right)={\color{red}{e^{-x}}} \left(1-x\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 4

    f(x)=x2e6xf\left(x\right)=x^{2} e^{6x}

    Correction
  • (eax+b)′=aeax+b\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x2u\left(x\right)=x^{2} et v(x)=e6xv\left(x\right)=e^{{\color{blue}6}x} .
    Ainsi : u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v′(x)=6e6xv'\left(x\right)={\color{blue}6}e^{{\color{blue}6}x}.
    f′(x)=2xe6x+x2×6e6xf'\left(x\right)=2xe^{6x} +x^{2} \times 6e^{6x}
    f′(x)=2xe6x+6x2e6xf'\left(x\right)=2x{\color{red}{e^{6x}}}+6x^{2} {\color{red}{e^{6x}}}
    f′(x)=e6x(2x+6x2)f'\left(x\right)={\color{red}{e^{6x}}} \left(2x+6x^{2}\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 5

    Soit x≠−13x\ne -\frac{1}{3}, on a : f(x)=e2x3x+1f\left(x\right)=\frac{e^{2x} }{3x+1}

    Correction
  • (eax+b)′=aeax+b\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
    • ff est dérivable pour tout réel x≠−13x\ne -\frac{1}{3} .
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=e2xu\left(x\right)=e^{{\color{blue}2}x} et v(x)=3x+1v\left(x\right)=3x+1.
    Ainsi u′(x)=2e2xu'\left(x\right)={\color{blue}2}e^{{\color{blue}2}x} et v′(x)=3v'\left(x\right)=3.
    Il vient alors que :
    f′(x)=2e2x×(3x+1)−e2x×3(3x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2e^{2x} \times \left(3x+1\right)-e^{2x} \times 3}{\left(3x+1\right)^{2} }
    f′(x)=2e2x×3x+2e2x×1−3e2x(3x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2e^{2x} \times 3x+2e^{2x} \times 1-3e^{2x} }{\left(3x+1\right)^{2} }
    f′(x)=6xe2x+2e2x−3e2x(3x+1)2f'\left(x\right)=\frac{6xe^{2x} +2e^{2x} -3e^{2x} }{\left(3x+1\right)^{2} }
    f′(x)=6xe2x−e2x(3x+1)2f'\left(x\right)=\frac{6x{\color{blue}{e^{2x}}} -{\color{blue}{e^{2x}}} }{\left(3x+1\right)^{2} }
    f′(x)=e2x(6x−1)(3x+1)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{e^{2x}}} \left(6x-1\right)}{\left(3x+1\right)^{2} }
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.

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