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Fonction exponentielle
Les dérivées de la forme
x
↦
e
a
x
+
b
x\mapsto e^{ax+b}
x
↦
e
a
x
+
b
- Exercice 1
15 min
25
Question 1
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes sur
R
\mathbb{R}
R
.
f
(
x
)
=
e
9
x
f\left(x\right)=e^{9x}
f
(
x
)
=
e
9
x
Correction
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
f
(
x
)
=
e
9
x
f\left(x\right)=e^{{\color{blue}9}x}
f
(
x
)
=
e
9
x
Ici nous avons
a
=
9
{\color{blue}a=9}
a
=
9
et
b
=
0
{\color{red}b=0}
b
=
0
.
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
9
×
e
9
x
f'\left(x\right)={\color{blue}9}\times e^{{\color{blue}9}x}
f
′
(
x
)
=
9
×
e
9
x
D'où
f
′
(
x
)
=
9
e
9
x
f'\left(x\right)=9e^{9x}
f
′
(
x
)
=
9
e
9
x
Question 2
f
(
x
)
=
3
e
2
x
f\left(x\right)=3e^{2x}
f
(
x
)
=
3
e
2
x
Correction
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
f
(
x
)
=
3
e
2
x
f\left(x\right)=3e^{{\color{blue}2}x}
f
(
x
)
=
3
e
2
x
Ici nous avons
a
=
2
{\color{blue}a=2}
a
=
2
et
b
=
0
{\color{red}b=0}
b
=
0
.
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
3
×
2
×
e
2
x
f'\left(x\right)=3\times{\color{blue}2}\times e^{{\color{blue}2}x}
f
′
(
x
)
=
3
×
2
×
e
2
x
D'où
f
′
(
x
)
=
6
e
2
x
f'\left(x\right)=6e^{2x}
f
′
(
x
)
=
6
e
2
x
Question 3
f
(
x
)
=
5
e
0
,
6
x
f\left(x\right)=5e^{0,6x}
f
(
x
)
=
5
e
0
,
6
x
Correction
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
f
(
x
)
=
5
e
0
,
6
x
f\left(x\right)=5e^{{\color{blue}0,6}x}
f
(
x
)
=
5
e
0
,
6
x
Ici nous avons
a
=
0
,
6
{\color{blue}a=0,6}
a
=
0
,
6
et
b
=
0
{\color{red}b=0}
b
=
0
.
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
5
×
0
,
6
×
e
0
,
6
x
f'\left(x\right)=5\times{\color{blue}0,6}\times e^{{\color{blue}0,6}x}
f
′
(
x
)
=
5
×
0
,
6
×
e
0
,
6
x
D'où
f
′
(
x
)
=
3
e
0
,
6
x
f'\left(x\right)=3e^{0,6x}
f
′
(
x
)
=
3
e
0
,
6
x
Question 4
f
(
x
)
=
2
e
−
x
f\left(x\right)=2e^{-x}
f
(
x
)
=
2
e
−
x
Correction
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
f
(
x
)
=
2
e
−
x
f\left(x\right)=2e^{{\color{blue}-}x}
f
(
x
)
=
2
e
−
x
Ici nous avons
a
=
−
1
{\color{blue}a=-1}
a
=
−
1
et
b
=
0
{\color{red}b=0}
b
=
0
.
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
2
×
(
−
1
)
×
e
−
x
f'\left(x\right)=2\times\left({\color{blue}-1}\right)\times e^{{\color{blue}-}x}
f
′
(
x
)
=
2
×
(
−
1
)
×
e
−
x
D'où
f
′
(
x
)
=
−
2
e
−
x
f'\left(x\right)=-2e^{-x}
f
′
(
x
)
=
−
2
e
−
x
Question 5
f
(
x
)
=
e
5
x
+
3
f\left(x\right)=e^{5x+3}
f
(
x
)
=
e
5
x
+
3
Correction
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
Ici nous avons
a
=
5
{\color{blue}a=5}
a
=
5
et
b
=
3
{\color{red}b=3}
b
=
3
.
f
(
x
)
=
e
5
x
+
3
f\left(x\right)=e^{{\color{blue}5}x{\color{red}+3}}
f
(
x
)
=
e
5
x
+
3
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
5
×
e
5
x
+
3
f'\left(x\right)={\color{blue}5}\times e^{{\color{blue}5}x+{\color{red}3}}
f
′
(
x
)
=
5
×
e
5
x
+
3
D'où
f
′
(
x
)
=
5
e
5
x
+
3
f'\left(x\right)=5e^{5x+3}
f
′
(
x
)
=
5
e
5
x
+
3
Question 6
f
(
x
)
=
4
e
3
x
−
1
f\left(x\right)=4e^{3x-1}
f
(
x
)
=
4
e
3
x
−
1
Correction
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
Ici nous avons
a
=
3
{\color{blue}a=3}
a
=
3
et
b
=
−
1
{\color{red}b=-1}
b
=
−
1
.
f
(
x
)
=
4
e
3
x
−
1
f\left(x\right)=4e^{{\color{blue}3}x{\color{red}-1}}
f
(
x
)
=
4
e
3
x
−
1
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
4
×
3
×
e
3
x
−
1
f'\left(x\right)=4\times{\color{blue}3}\times e^{{\color{blue}3}x-{\color{red}1}}
f
′
(
x
)
=
4
×
3
×
e
3
x
−
1
D'où
f
′
(
x
)
=
12
e
3
x
−
1
f'\left(x\right)=12e^{3x-1}
f
′
(
x
)
=
12
e
3
x
−
1
Question 7
f
(
x
)
=
6
e
7
x
+
2
f\left(x\right)=6e^{7x+2}
f
(
x
)
=
6
e
7
x
+
2
Correction
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
(
e
a
x
+
b
)
′
=
a
e
a
x
+
b
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
Ici nous avons
a
=
7
{\color{blue}a=7}
a
=
7
et
b
=
2
{\color{red}b=2}
b
=
2
.
f
(
x
)
=
6
e
7
x
+
2
f\left(x\right)=6e^{{\color{blue}7}x{\color{red}+2}}
f
(
x
)
=
6
e
7
x
+
2
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
6
×
7
×
e
7
x
+
2
f'\left(x\right)=6\times{\color{blue}7}\times e^{{\color{blue}7}x+{\color{red}2}}
f
′
(
x
)
=
6
×
7
×
e
7
x
+
2
D'où
f
′
(
x
)
=
42
e
7
x
+
2
f'\left(x\right)=42e^{7x+2}
f
′
(
x
)
=
42
e
7
x
+
2