Fonction exponentielle

Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU 33ème partie - Exercice 1

20 min
40
Question 1
Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=e2x+6ex−8x−4f\left(x\right)=e^{2x} +6e^{x} -8x-4
Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère :
  • Cf\mathscr{C_f} la courbe représentative de la fonction ff
  • D\mathscr{D} la droite d'équation cartésienne y=−8x−4y=-8x-4

    • Montrer que, pour tout réel x∈Rx\in \mathbb{R}, f′(x)=2(ex−1)(ex+4)f'\left(x\right)=2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)

    Correction
  • (eax+b)′=aeax+b\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Soit : f(x)=e2x+6ex−8x−4f\left(x\right)=e^{{\color{blue}2}x} +6e^{x} -8x-4
    Ainsi : f′(x)=2e2x+6ex−8f'\left(x\right)={\color{blue}2}e^{{\color{blue}2}x} +6e^{x} -8
    Maintenant, nous allons développer l'expression 2(ex−1)(ex+4)2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)
    2(ex−1)(ex+4)=2(ex×ex+4×ex+(−1)×ex+(−1)×4)2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)=2\left(e^{x} \times e^{x} +4\times e^{x} +\left(-1\right)\times e^{x} +\left(-1\right)\times 4\right)
    2(ex−1)(ex+4)=2(ex+x+4ex−ex−4)2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)=2\left(e^{x+x} +4e^{x} -e^{x} -4\right)
    2(ex−1)(ex+4)=2(e2x+3ex−4)2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)=2\left(e^{2x} +3e^{x} -4\right)
    2(ex−1)(ex+4)=2e2x+6ex−82\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)=2e^{2x} +6e^{x} -8
    Il en résulte donc que :
    f′(x)=2(ex−1)(ex+4)f'\left(x\right)=2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)

    Question 2

    Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) sur R\mathbb{R} .

    Correction
    Nous savons que f′(x)=2(ex−1)(ex+4)f'\left(x\right)=2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)
    Pour tout réel xx, nous savons que ex>0e^{x}>0 ainsi ex+4>0e^{x} +4>0. De plus, 2>02>0. Il en résulte donc que le signe de f′f' dépend alors du signe de ex−1e^{x} -1.
    Ainsi :
    ex−1≥0e^{x}-1\ge 0 équivaut successivement à :
    ex≥1e^{x}\ge 1
    ex≥e0e^{x}\ge e^{0}
    x≥0x\ge 0 . Cela signifie que ex−1e^{x}-1 est positive ou nulle dès que x≥0x\ge 0.
    Autrement dit, f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0 dès que x≥0x\ge 0 et f′(x)≤0f'\left(x\right)\le 0 dès que x≤0x\le 0.
    Nous traduisons cela le tableau de signe de f′f' :
    Question 3

    Dresser le tableau de variations de la fonction ff sur R\mathbb{R} .

    Correction
    Nous connaissons le signe de f′f' ce qui va nous permettre d'en déduire les variations de ff.
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    De plus : f(0)=e2×0+6e0−8×0−4f\left(0\right)=e^{2\times 0} +6e^{0} -8\times 0-4 d'où : f(0)=1+6−4=3f\left(0\right)=1+6-4=3
    Question 4

    En déduire le signe de f(x)f\left(x\right) .

    Correction
    D'après le tableau de variation établi à la question 33, il est évident que la courbe Cf\mathscr{C_f} admet un minimum valant 33 lorsque x=0x=0.
    Nous pouvons donc écrire que, pour tout réel xx, on a : f(x)≥3f\left(x\right)\ge3 .
    On peut alors conclure que, pour tout réel xx, la fonction ff est positive.
    Question 5

    La courbe Cf\mathscr{C_f} et la droite D\mathscr{D} ont-elles un point en commun ? Justifier.

    Correction
    Les solutions de l'équation f(x)=−8x−4f\left(x\right)= -8x-4 seront les abscisses des points d'intersection entre la courbe Cf\mathscr{C_f} et la droite D\mathscr{D} .
    f(x)=−8x−4f\left(x\right)= -8x-4 équivaut successivement à :
    e2x+6ex−8x−4=−8x−4e^{2x} +6e^{x} -8x-4=-8x-4
    e2x+6ex=−8x−4+8x+4e^{2x} +6e^{x} =-8x-4+8x+4
    e2x+6ex=0e^{2x} +6e^{x} =0 . Nous allons factoriser par exe^{x}. En effet : e2x=ex×exe^{2x}= e^{x}\times e^{x}
    D'où :
    ex(ex+6)=0e^{x} \left(e^{x} +6\right)=0
    Il s'agit d'une équation produit nul.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons ex=0e^{x}=0 qui n’admet pas de solutions car ex>0e^{x}>0 .
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons ex+6e^{x} +6 qui donne ex=−6e^{x} =-6 qui n’admet pas de solutions car ex>0e^{x}>0 .
    • Il n'y a donc pas de solutions à l'équation f(x)=−8x−4f\left(x\right)= -8x-4 .
    On peut conclure alors que la courbe Cf\mathscr{C_f} et la droite D\mathscr{D} n'ont pas de point en commun.