Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU $$3$$^ème partie - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Soit : $$f\left(x\right)=e^{{\color{blue}2}x} +6e^{x} -8x-4$$
Ainsi : $$f'\left(x\right)={\color{blue}2}e^{{\color{blue}2}x} +6e^{x} -8$$
Maintenant, nous allons développer l'expression $$2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)$$
$$2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)=2\left(e^{x} \times e^{x} +4\times e^{x} +\left(-1\right)\times e^{x} +\left(-1\right)\times 4\right)$$
$$2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)=2\left(e^{x+x} +4e^{x} -e^{x} -4\right)$$
$$2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)=2\left(e^{2x} +3e^{x} -4\right)$$
$$2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)=2e^{2x} +6e^{x} -8$$
Il en résulte donc que :

Nous savons que $$f'\left(x\right)=2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +4\right)$$
Pour tout réel $$x$$, nous savons que $$e^{x}>0$$ ainsi $$e^{x} +4>0$$. De plus, $$2>0$$. Il en résulte donc que le signe de $$f'$$ dépend alors du signe de $$e^{x} -1$$.
Ainsi :
$$e^{x}-1\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$e^{x}\ge 1$$
$$e^{x}\ge e^{0}$$
$$x\ge 0$$ . Cela signifie que $$e^{x}-1$$ est positive ou nulle dès que $$x\ge 0$$.
Autrement dit, $$f'\left(x\right)\ge 0$$ dès que $$x\ge 0$$ et $$f'\left(x\right)\le 0$$ dès que $$x\le 0$$.
Nous traduisons cela le tableau de signe de $$f'$$ :

Nous connaissons le signe de $$f'$$ ce qui va nous permettre d'en déduire les variations de $$f$$. De plus : $$f\left(0\right)=e^{2\times 0} +6e^{0} -8\times 0-4$$ d'où : $$f\left(0\right)=1+6-4=3$$

D'après le tableau de variation établi à la question $$3$$, il est évident que la courbe $$\mathscr{C_f}$$ admet un minimum valant $$3$$ lorsque $$x=0$$.
Nous pouvons donc écrire que, pour tout réel $$x$$, on a : $$f\left(x\right)\ge3$$ .
On peut alors conclure que, pour tout réel $$x$$, la fonction $$f$$ est positive.

Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)= -8x-4$$ seront les abscisses des points d'intersection entre la courbe $$\mathscr{C_f}$$ et la droite $$\mathscr{D}$$ .
$$f\left(x\right)= -8x-4$$ équivaut successivement à :
$$e^{2x} +6e^{x} -8x-4=-8x-4$$
$$e^{2x} +6e^{x} =-8x-4+8x+4$$
$$e^{2x} +6e^{x} =0$$ . Nous allons factoriser par $$e^{x}$$. En effet : $$e^{2x}= e^{x}\times e^{x}$$
D'où :
$$e^{x} \left(e^{x} +6\right)=0$$
Il s'agit d'une équation produit nul.

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$e^{x}=0$$ qui n’admet pas de solutions car $$e^{x}>0$$ .

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$e^{x} +6$$ qui donne $$e^{x} =-6$$ qui n’admet pas de solutions car $$e^{x}>0$$ .

Il n'y a donc pas de solutions à l'équation $$f\left(x\right)= -8x-4$$ .
On peut conclure alors que la courbe $$\mathscr{C_f}$$ et la droite $$\mathscr{D}$$ n'ont pas de point en commun.