Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU $$2$$^ème partie - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$
$$f'\left(x\right)=2\times \left(\color{blue}{-3}\right)\times e^{{\color{blue}{-3}}x} +6$$

$$-6e^{-3x} +6\ge 0$$
$$-6e^{-3x} \ge -6$$
$$e^{-3x} \le \frac{-6}{-6}$$
$$e^{-3x} \le 1$$
$$e^{-3x} \le e^{0}$$
$$-3x\le 0$$
$$x\ge \frac{0}{-3}$$
$$x\ge 0$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$f'\left(x\right)$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$0$$.

Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$f'\left(x\right)$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$0$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;0\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[0;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus, $$f\left(0\right)=2e^{-3\times0} +6\times0+1$$ ce qui nous donne $$f\left(0\right)=3$$

D'après le tableau ci-dessus :

$$f'$$ s'annule en changeant de signe en $$0$$ donc $$f$$ admet un $$\text{\red{extremum local en 0}}$$ .

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.
1^ère étape : calculer la dérivée de $$f$$
$$f'\left(x\right)=-6e^{-3x} +6$$ . La dérivée a été obtenue à la question $$1$$ .
2^ème étape : calculer $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=2e^{-3\times 1} +6\times 1+1$$
$$f\left(1\right)=2e^{-3} +7$$
3^ème étape : calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=-6e^{-3\times 1} +6$$
$$f'\left(1\right)=-6e^{-3} +6$$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=\left(-6e^{-3} +6\right)\times \left(x-1\right)+2e^{-3} +7$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$\mathscr{C_f}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=\left(-6e^{-3} +6\right)\times \left(x-1\right)+2e^{-3} +7$$.