Fonction exponentielle

Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU 22ème partie - Exercice 1

20 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2e−3x+6x+1f\left(x\right)=2e^{-3x} +6x+1. On note Cf\mathscr{C_f} la courbe représentative de la fonction ff.

Calculer la dérivée de la fonction ff notée f′f' .

Correction
  • (eax+b)′=aeax+b\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    f′(x)=2×(−3)×e−3x+6f'\left(x\right)=2\times \left(\color{blue}{-3}\right)\times e^{{\color{blue}{-3}}x} +6
    f′(x)=−6e−3x+6f'\left(x\right)=-6e^{-3x} +6

    Question 2

    Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) sur R\mathbb{R} .

    Correction
    −6e−3x+6≥0-6e^{-3x} +6\ge 0
    −6e−3x≥−6-6e^{-3x} \ge -6
    e−3x≤−6−6e^{-3x} \le \frac{-6}{-6}
    e−3x≤1e^{-3x} \le 1
    e−3x≤e0e^{-3x} \le e^{0}
    −3x≤0-3x\le 0
    x≥0−3x\ge \frac{0}{-3}
    x≥0x\ge 0
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de f′(x)f'\left(x\right) lorsque xx sera supérieur ou égale à 00.
    Question 3

    Dresser le tableau de variation de la fonction ff sur R\mathbb{R} .

    Correction
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de f′(x)f'\left(x\right) lorsque xx sera supérieur ou égale à 00.
    Il en résulte donc que :
    • si x∈]−∞;0]x\in\left]-\infty;0\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    • si x∈[0;+∞[x\in\left[0;+\infty\right[ alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    De plus, f(0)=2e−3×0+6×0+1f\left(0\right)=2e^{-3\times0} +6\times0+1 ce qui nous donne f(0)=3f\left(0\right)=3
    Question 4

    Montrer que ff admet un extremum sur R\mathbb{R} .

    Correction
      Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II et aa un réel de II .
    • Si f′f' s'annule en changeant de signe en aa, alors ff admet un extremum local en aa .
    D'après le tableau ci-dessus :
  • f′f' s'annule en changeant de signe en 00 donc ff admet un extremum local en 0\text{\red{extremum local en 0}} .
    • Question 5

    Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de ff au point d'abscisse 11 .

    Correction
    L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
    Ici a=1a=1, ce qui donne, y=f′(1)(x−1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right).
    1ère étape : calculer la dérivée de ff
    f′(x)=−6e−3x+6f'\left(x\right)=-6e^{-3x} +6 . La dérivée a été obtenue à la question 11 .
    2ème étape : calculer f(1)f\left(1\right)
    f(1)=2e−3×1+6×1+1f\left(1\right)=2e^{-3\times 1} +6\times 1+1
    f(1)=2e−3+7f\left(1\right)=2e^{-3} +7
    3ème étape : calculer f′(1)f'\left(1\right)
    f′(1)=−6e−3×1+6f'\left(1\right)=-6e^{-3\times 1} +6
    f′(1)=−6e−3+6f'\left(1\right)=-6e^{-3} +6
    4ème étape : on remplace les valeurs de f(1)f\left(1\right) et de f′(1)f'\left(1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
    On sait que :
    y=f′(1)(x−1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
    y=(−6e−3+6)×(x−1)+2e−3+7y=\left(-6e^{-3} +6\right)\times \left(x-1\right)+2e^{-3} +7
    Ainsi l'équation de la tangente à la courbe Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse 11 est alors y=(−6e−3+6)×(x−1)+2e−3+7y=\left(-6e^{-3} +6\right)\times \left(x-1\right)+2e^{-3} +7.