Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU $$1$$^ère partie - Exercice 2

Soit $$f\left(x\right)=\left(-x+2\right)e^{x}$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\left[-1;2\right]$$ .
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x+2$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-1\times e^{x} +\left(-x+2\right)\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=-1\times e^{x} +\left(-x\right)\times e^{x} +2\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=-e^{x} -xe^{x} +2e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=-xe^{x} +e^{x}$$ . Il ne nous reste qu'à factoriser par $$e^{x}$$ .
Ainsi :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{x}$$
Pour tout réel $$x\in \left[-1;2\right]$$, on a $$e^{x} >0$$.
$$-x+1\ge 0\Leftrightarrow -x\ge -1\Leftrightarrow x\le \frac{-1}{-1} \Leftrightarrow x\le 1$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-x+1$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$1$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[-1;1\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[1;2\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :

$$f\left(-1\right)=\left(-\left(-1\right)+2\right)e^{-1}$$ d'où : $$f\left(-1\right)=3e^{-1}$$

$$f\left(1\right)=\left(-1+2\right)e^{1}$$ d'où : $$f\left(1\right)=e$$

$$f\left(2\right)=\left(-2+2\right)e^{2}$$ d'où : $$f\left(2\right)=0$$

D'après les hypothèses de l'énoncé nous savons que le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe $$C_f$$. On nomme $$L$$ la longueur de la plaque rectangulaire et $$l$$ sa largeur.
Autrement dit, la valeur $$l$$ est atteinte lorsque $$x=1$$ qui correspond à l'abscisse du maximum de la fonction $$f$$.
Or nous savons que : $$f\left(1\right)=e$$
N'oublions pas que notre repère est orthonormé d’unité $$30$$ cm .
Il en résulte donc que : $$l=30\times e$$ que l'on écrit