Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU $$1$$^ère partie - Exercice 1

$$\red{\text{ La bonne réponse est a.}}$$ $$A\left(x\right)=\frac{\left(e^{x} \right)^{3} \times e^{2} \times e^{x+1} }{e^{3} \times e^{5} }$$ équivaut successivement à :
$$A\left(x\right)=\frac{e^{x\times 3} \times e^{2} \times e^{x+1} }{e^{3} \times e^{5} }$$
$$A\left(x\right)=\frac{e^{3x} \times e^{2} \times e^{x+1} }{e^{3} \times e^{5} }$$
$$A\left(x\right)=\frac{e^{3x+2+x+1} }{e^{3+5} }$$
$$A\left(x\right)=\frac{e^{4x+3} }{e^{8} }$$
$$A\left(x\right)=e^{4x+3-8}$$
Ainsi :

$$\red{\text{ La bonne réponse est d.}}$$$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici nous avons $${\color{blue}a=2}$$ et $${\color{red}b=7}$$ .
$$f\left(x\right)=3e^{{\color{blue}2}x+{\color{red}7}}$$
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=3\times{\color{blue}2}\times e^{{\color{blue}2}x+{\color{red}7}}$$
D'où

$$\red{\text{ La bonne réponse est a.}}$$
Soit $$f\left(x\right)=\left(-3x+4\right)e^{x}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-3x+4$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-3$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-3\times e^{x} +\left(-3x+4\right)\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=-3e^{x} +\left(-3x\right)\times e^{x} +4\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=-3e^{x} -3xe^{x} +4e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=e^{x} -3xe^{x}$$ . Ici, nous allons factoriser par $$e^{x}$$ . Ce qui nous donne :

$$\red{\text{ La bonne réponse est b.}}$$
Soit $$f\left(x\right)=\frac{-4x}{e^{x} }$$ . $$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
Ici on reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=-4x$$ et $$v\left(x\right)=e^x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-4$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{-4\times e^{x} -\left[\left(-4x\right)\times e^{x} \right]}{\left(e^{x} \right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-4e^{x} -\left(-4xe^{x} \right)}{\left(e^{x} \right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-4e^{x} +4xe^{x} }{\left(e^{x} \right)^{2} }$$ . Il faut factoriser par $$e^{x}$$ .
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(-4+4x\right)}{\left(e^{x} \right)^{2} }$$ . or $$\left(e^{x} \right)^{2}=e^{x} \times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(-4+4x\right)}{e^{x} \times e^{x} }$$ . Il ne nous reste plus qu'à simplifier par $$e^{x}$$ . Ce qui nous donne :

Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$.
$$-4+4x\ge 0\Leftrightarrow 4x\ge 4\Leftrightarrow x\ge \frac{4}{4} \Leftrightarrow x\ge 1$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-4+4x$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$1$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;1\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[1;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous : De plus :
$$f\left(1\right)=\frac{-4\times 1}{e^{1} }\Leftrightarrow f\left(1\right)=\frac{-4}{e}$$
D'après le tableau ci-dessus :

$$f'$$ s'annule en changeant de signe en $$1$$ donc $$f$$ admet un $$\text{\red{extremum local}}$$ en $$1$$ . Cet extremum local est un minimum.