Exercices types : $$4$$ ^ème partie - Exercice 1

Soit $$g\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{x-4} -2$$ tel que $$g$$ soit dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ .
Ici on reconnait la forme : $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=x+2$$ ; $$v\left(x\right)=e^{x-4}$$ et $$w\left(x\right)=-2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ ; $$v'\left(x\right)=e^{x-4}$$ et $$w'\left(x\right)=0$$.
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=1\times e^{x-4} +\left(x+2\right)e^{x-4}$$
$$g'\left(x\right)=e^{x-4} +\left(x+2\right)e^{x-4}$$
$$g'\left(x\right)=e^{x-4} \left(1+x+2\right)$$

Pour tout réel $$x\in \left]-\infty ;+\infty \right[$$ , on vérifie aisément $$e^{x-4}>0$$ . Le signe de $$g'$$ dépend alors de $$3+x$$. Il vient que :
$$x+3\ge 0\Leftrightarrow x\ge -3$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$x+3$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-3$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-3\right]$$ alors $$g'\left(x\right)\le0$$ et donc $$g$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-3;+\infty\right[$$ alors $$g'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$g$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$$g\left(-3\right)=\left(-3+2\right)e^{-3-4} -2$$ d'où :

$$g\left(-3\right)=-e^{-7} -2$$

La fonction $$g$$ admet donc un extremum ( qui correspond ici à un minimum ) qui vaut $$-e^{-7} -2$$ lorsque $$x=-3$$ .