Exercices types : $$3$$ ^ème partie - Exercice 1

$$g$$ est dérivable sur $$\left[0;+\infty \right[$$.
On a : $$g'\left(x\right)=e^{x} -1$$
Résolvons l'inéquation :
$$e^{x}-1 \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$e^{x} \ge 1$$
$$e^{x} \ge e^{0}$$
$$x \ge 0$$
Cela signifie que $$e^{x}-1 \ge 0$$ lorsque $$x \ge 0$$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :

On remarque que :
$$g\left(0\right)=e^{0} -0-1=0$$
On indique cela dans le tableau de variation ci-dessous :

Ainsi la fonction $$g$$ admet un minimum qui vaut $$0$$ lorsque $$x=0$$. La fonction $$g$$ est donc positive.
Ainsi, pour tout $$x$$ de l'intervalle $$\left[0;+\infty \right[$$, on a : .

On a vu à la question $$2$$, que pour tout $$x$$ de l'intervalle $$\left[0;+\infty \right[$$, on a : $$g\left(x\right)\ge 0$$
Ainsi :
$$e^{x} -x-1\ge 0$$ donc $$e^{x} -x\ge 1$$
D'où : $$e^{x} -x\ge 1>0$$ . Ce qui permet de dire que tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;+\infty \right[$$, on a :

Dans l'exercice, on nous indique que la fonction $$f$$ est strictement croissante sur l'intervalle $$\left[0;1 \right]$$
Calculons $$f\left(0\right)$$ et $$f\left(1\right)$$.
$$f\left(0\right)=\frac{e^{0} -1}{e^{0} -0}$$ ce qui donne :
$$f\left(1\right)=\frac{e^{1} -1}{e^{1} -1}$$ ce qui donne :
Nous dressons le tableau de variation de $$f$$ sur l'intervalle $$\left[0;1 \right]$$. Il vient alors que :

Il en résulte donc que pour tout $$x$$ appartenant à $$\left[0;1 \right]$$, on a $$f\left(x\right)\in \left[0;1\right]$$

$$f\left(x\right)-x=\frac{e^{x} -1}{e^{x} -x}-x$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)-x=\frac{e^{x} -1}{e^{x} -x}-\frac{x\left(e^{x} -x\right)}{e^{x} -x}$$ . Nous avons tout mis au même dénominateur :
$$f\left(x\right)-x=\frac{e^{x} -1-x\left(e^{x} -x\right)}{e^{x} -x}$$
$$f\left(x\right)-x=\frac{e^{x} -1-xe^{x}+x^{2}}{e^{x} -x}$$
Maintenant développons l'expression : $$\left(1-x\right)g\left(x\right)$$
$$\left(1-x\right)g\left(x\right)=\left(1-x\right)\left(e^{x} -x-1\right)$$ équivaut successivement à :
$$\left(1-x\right)g\left(x\right)=e^{x} -x-1-xe^{x} +x^{2}+x$$
$$\left(1-x\right)g\left(x\right)=e^{x}-1-xe^{x} +x^{2}$$
Comme $$f\left(x\right)-x=\frac{e^{x} -1-xe^{x}+x^{2}}{e^{x} -x}$$ et que $$\left(1-x\right)g\left(x\right)=e^{x}-1-xe^{x} +x^{2}$$, il vient alors que :

Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;1 \right]$$, nous savons que :

d'après la question $$3$$ : $$e^{x} -x>0$$

d'après la question $$2$$ : $$g\left(x\right)\ge0$$

Il en résulte donc que $$f\left(x\right)-x=\frac{\left(1-x\right)g\left(x\right)}{e^{x} -x}$$ est alors du signe de $$1-x$$.
Résolvons : $$1-x\ge 0$$ équivalent à $$x\le 1$$.
Il en résulte donc que :

$$f\left(x\right)-x\ge 0$$ lorsque $$x\le 1$$

$$f\left(x\right)-x\le 0$$ lorsque $$x\ge 1$$

Traduisons toutes ces données dans un tableau de signe pour $$f\left(x\right)-x$$.

Il en résulte que pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;1 \right]$$, on a :
$$f\left(x\right)-x\ge 0$$ donc que $$f\left(x\right)\ge x$$.
Cela signifie que pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;1 \right]$$, la courbe $$C_{f}$$ est au-dessus de la droite $$\left(D\right)$$.