Exercices types : $3$ ^ème partie

Soit $g\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{x-4} -2$ tel que $g$ soit dérivable sur $\left]-\infty ;+\infty \right[$ .
Ici on reconnait la forme : $\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$ avec $u\left(x\right)=x+2$ ; $v\left(x\right)=e^{x-4}$ et $w\left(x\right)=-2$
Ainsi : $u'\left(x\right)=1$ ; $v'\left(x\right)=e^{x-4}$ et $w'\left(x\right)=0$.
Il vient alors que :
$g'\left(x\right)=1\times e^{x-4} +\left(x+2\right)e^{x-4}$
$g'\left(x\right)=e^{x-4} +\left(x+2\right)e^{x-4}$
$g'\left(x\right)=e^{x-4} \left(1+x+2\right)$

Pour tout réel $x\in \left]-\infty ;+\infty \right[$ , on vérifie aisément $e^{x-4}>0$ . Le signe de $g'$ dépend alors de $3+x$. Il vient que :
$x+3\ge 0\Leftrightarrow x\ge -3$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $+$ dans la ligne de $x+3$ lorsque $x$ sera supérieur ou égale à $-3$.
Il en résulte donc que :

• si $x\in\left]-\infty;-3\right]$ alors $g'\left(x\right)\le0$ et donc $g$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $x\in\left[-3;+\infty\right[$ alors $g'\left(x\right)\ge0$ et donc $g$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$g\left(-3\right)=\left(-3+2\right)e^{-3-4} -2$ d'où :

$g\left(-3\right)=-e^{-7} -2$

La fonction $g$ admet donc un extremum ( qui correspond ici à un minimum ) qui vaut $-e^{-7} -2$ lorsque $x=-3$ .