Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 4

Soit : $$f\left(x\right)=\left(x^{2} +x+1\right)e^{-x} -1$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2} +x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x}$$.
On note $$w\left(x\right)=-1$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2x+1$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=0$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(2x+1\right)e^{-x} +\left(x^{2} +x+1\right)\times \left(-e^{-x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2x\times e^{-x} +1\times e^{-x} +x^{2} \times \left(-e^{-x} \right)+x\times \left(-e^{-x} \right)+1\times \left(-e^{-x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2xe^{-x} +e^{-x} -x^{2} e^{-x} -xe^{-x} -e^{-x}$$
$$f'\left(x\right)=xe^{-x} -x^{2} e^{-x}$$ . Nous allons maintenant factoriser par $$e^{-x}$$ .

Nous savons d'après la question précédente que : $$f'\left(x\right)=e^{-x} \left(-x^{2} +x\right)$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{-x} >0$$.
Pour l'étude de $$-x^{2} +x$$, on va utiliser le discriminant.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =1$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =1$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =0$$.

Comme $$a=-1<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :
De plus :
$$f\left(0\right)=\left(0^{2} +0+1\right)e^{-0} -1\Leftrightarrow f\left(0\right)=0$$
$$f\left(1\right)=\left(1^{2} +1+1\right)e^{-1} -1\Leftrightarrow f\left(1\right)=3e^{-1} -1$$