Fonction exponentielle

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

15 min
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Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=ex+x+1g\left(x\right)=e^{x} +x+1 .
Question 1

Etudiez les variations de gg.

Correction
Soit g(x)=ex+x+1g\left(x\right)=e^{x} +x+1
gg est dérivable sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[
On a : g(x)=ex+1.g'\left(x\right)=e^{x} +1.
Pour tout réel xx, on a ex+1>0e^{x} +1>0.
Il vient alors que :
Question 2
Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[par f(x)=xexex+1f\left(x\right)=\frac{xe^{x} }{e^{x} +1} .

Démontrer que, pour tout réel xx, f(x)=exg(x)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} g\left(x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} } .

Correction
Soit : f(x)=xexex+1f\left(x\right)=\frac{xe^{x} }{e^{x} +1}
ff est dérivable sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[
Ici on reconnait la forme (uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=xexu\left(x\right)=xe^{x} et v(x)=ex+1v\left(x\right)=e^{x} +1.
Attention : pour u(x)=xexu\left(x\right)=xe^{x} , lorsque nous allons faire sa dérivée il faudra utiliser la forme (uv)\left(uv\right)^{'} .
Ainsi u(x)=ex+xexu'\left(x\right)=e^{x} +xe^{x} et v(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
f(x)=(ex+xex)(ex+1)xex×ex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{\left(e^{x} +xe^{x} \right)\left(e^{x} +1\right)-xe^{x} \times e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} } équivaut successivement à
f(x)=e2x+ex+xe2x+xexxe2x(ex+1)2 f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +e^{x} +xe^{2x} +xe^{x} -xe^{2x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f(x)=e2x+ex+xex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +e^{x} +xe^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f(x)=ex(ex+1+x)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(e^{x} +1+x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f(x)=exg(x)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} g\left(x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }