Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

Soit $$g\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{2x} +3$$.
$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x}$$.
On note $$w\left(x\right)=3$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=0$$
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+1\right)\left(2e^{2x} \right)$$
$$g'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x\right)\times 2e^{2x} +1\times 2e^{2x}$$
$$g'\left(x\right)=-e^{2x} -2xe^{2x} +2e^{2x}$$
$$g'\left(x\right)=-2x{\color{blue}{e^{2x}}} +{\color{blue}{e^{2x}}}$$
Ainsi :
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{2x} >0$$.
$$-2x+1\ge 0\Leftrightarrow -2x\ge -1\Leftrightarrow x{\color{red}\le} \frac{-1}{-2} \Leftrightarrow x\le \frac{1}{2}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-2x+1$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$\frac{1}{2}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;\frac{1}{2}\right]$$ alors $$g'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$g$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[\frac{1}{2};+\infty\right[$$ alors $$g'\left(x\right)\le0$$ et donc $$g$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus : $$g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} e+3$$

Soit $$f\left(x\right)=\left(-x+\frac{3}{2} \right)e^{2x} +6x-1$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ .
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x+\frac{3}{2}$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x}$$.
On note $$w\left(x\right)=6x-1$$ . Ainsi $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=6$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+\frac{3}{2} \right)\left(2e^{2x} \right)+6\Leftrightarrow f'\left(x\right)=e^{2x} \left(-1+2\left(-x+\frac{3}{2} \right)\right)+6$$
Ainsi : $$f'\left(x\right)=e^{2x} \left(-2x+2\right)+6$$.
On va maintenant factoriser $$f'$$par $$2$$.
On obtient :
$$f'\left(x\right)={\color{blue}{2}}e^{2x} \left(-x+1\right)+3\times {\color{blue}{2}}\Leftrightarrow f'\left(x\right)={\color{blue}{2}}\left[e^{2x} \left(-x+1\right)+3\right]$$
Il en résulte que :