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Fonction exponentielle

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
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Un rameur est une machine d’exercice physique simulant les mouvements d’une personne qui fait de l’aviron.
Il est souvent utilisé pour l’entraînement sportif afin d’améliorer sa condition physique. La courbe ci-dessous représente la puissance (en Watt) en fonction du temps (en dixième de seconde) développée par un rameur débutant.
Question 1
Partie  A  :‾\bf\underline{Partie\;A\;:} Répondre par lecture graphique aux deux questions suivantes.

Quelle est la puissance maximale atteinte par ce rameur ?

Correction
A l'aide du graphique ci-dessous, on peut en déduire la puissance maximale atteinte par ce rameur est de 160  watts.\color{red}160\;watts.
Question 2

Pendant combien de temps la puissance développée reste-t-elle au-dessus de 100100 Watts ?

Correction
A l'aide du graphique, on peut donc estimer que la puissance développée reste au-dessus de 100100 Watts approximativement pendant deux dixièmes de seconde.
Question 3
PartieB:‾\bf\underline{Partie B :} Modélisation par une fonction
On suppose que la courbe Cf\mathscr{C_f} est la courbe représentative de la fonction ff définie sur l’intervalle[0,2  ;  4] [0,2\;;\;4] par :
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquadf(x)=(−8x+32)exf\left(x\right)=\left(-8x+32\right)e^x
On note f′f' la fonction dérivée de ff. On admet que pour tout réel xx de l’intervalle [0,2  ;  4] [0,2\;;\;4],
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquadf′(x)=(−8x+24)exf'\left(x\right)=\left(-8x+24\right)e^x

Étudier le signe de f′(x)f'(x) puis en déduire les variations de ff sur [0,2  ;  4] [0,2\;;\;4]

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive sur R.\mathbb{R}.
    • f′(x)=(−8x+24)exf'\left(x\right)=\left(-8x+24\right)e^x
    Pour tout réel xx, on a ex>0e^{x} >0. Le signe de f′f' dépend alors du signe de −8x+24-8x+24 .
    −8x+24≥0⇔−8x≥−24⇔x≤−24−8⇔x≤3-8x+24\ge 0\Leftrightarrow -8x\ge -24\Leftrightarrow x\le \frac{-24}{-8} \Leftrightarrow x\le 3
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de −8x+24-8x+24 lorsque xx sera inférieur ou égale à 33.
    Il en résulte donc que :
    • si x∈]−∞;  3]x\in\left]-\infty;\;3\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    • si x∈[3;+∞[x\in\left[3;+\infty\right[ alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    Question 4

    Déterminer la valeur exacte du maximum de la fonction f.f.

    Correction
    D'après la question précédente, la fonction ff admet un maximum lorsque x=3x=3.
    Ainsi : f(3)=(−8×3+32)e3f\left(3\right)=(-8\times 3+32)e^3 d'où : f(3)=8e3f\left(3\right)=8e^3
    La fonction ff admet un maximum dont la valeur exacte est 8e38e^3 lorsque x=3x=3
    Question 5

    On suppose que le sportif ameˊliore sa meilleure performance\red{\text{améliore sa meilleure performance}} de 5%5\% tous les mois. Combien de mois d’entrainement seront-ils nécessaires pour qu’il dépasse les 200  W  ?200\;W\;?

    Correction
    On va modéliser la situation avec l'introduction d'une suite géométrique.
    On introduit la suite (un)\left(u_{n}\right) dont le terme général unu_{n} est la performance maximale du sportif au bout de nn mois.
    Chaque mois le sportif améliore sa meilleure performance de 5%5\% , il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur 1+5100=1,051+\frac{5}{100}=1,05
    Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,051,05.
    Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison q=1,05q=1,05 et de premier terme u0=8e3u_{0}=8e^3 . En effet, on prend u0=8e3u_{0}=8e^3 qui est la valeur maximale obtenue actuelle.
    Ainsi, pour tout entier naturel nn, on a :
    un+1=un×1,05u_{n+1}=u_{n}\times 1,05
    .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=8e3u_{0}=8e^3.
    Il en résulte donc que :
    un=8e3×1,05nu_{n} =8e^3\times1,05^{n}

    Maintenant, à l’aide de la calculatrice, nous obtenons les résultats suivants :
    Nous pouvons donc lire avec une approximation à 10−110^{-1} près que :
  • u4≈195,3u_4\approx 195,3 donc u4<200u_4<200
  • u5≈205,1u_5\approx 205,1 donc u5>200u_5>200
    • Finalement, c'est après 55 mois le que sportif dépassera les 200200 Watts .