Etude de fonctions - Exercice 5

D'après l'énoncé, la courbe passe par le point $$A\left(0; 1\right)$$ ce qui donne .
La tangente à $$\mathscr{C_f}$$ en $$A$$ est parallèle à l’axe des abscisses. Or le coefficient directeur d'une tangente horizontale est nulle. Par définition, $$f'\left(0\right)$$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$0$$.
Ainsi .

$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
Ainsi : .

D'après les questions précédentes, nous savons que : $$f\left(0\right)=1$$ et $$f'\left(0\right)=0$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$f'\left(0\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$-ae^{-0} -2be^{-2\times 0} =0$$
$$-ae^{0} -2be^{0} =0$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$f\left(0\right)=1$$ équivaut successivement à :
$$ae^{-0} +be^{-2\times 0} =1$$
$$ae^{0} +be^{0} =1$$

Finalement, il nous faut résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {+} & {b} & {=} & {1} \\ {-a} & {-} & {2b} & & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {1-b} \\ {-a-2b} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {1-b} \\ {-1+b-2b} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {1-b} \\ {-1+b-2b} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {1-b} \\ {b} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que : $$f\left(x\right)=2e^{-x} -e^{-2x}$$

$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
$$f'\left(x\right)=-2e^{-x} -\left(-2e^{-2x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=-2e^{-x} +2e^{-2x}$$
Maintenant, nous allons développer l'expression $$2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)$$.
$$2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)=2e^{-2x} \times 1+2e^{-2x} \times \left(-e^{x} \right)$$ équivaut successivement à :
$$2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)=2e^{-2x} -2e^{-2x} \times e^{x}$$
$$2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)=2e^{-2x} -2e^{-2x+x}$$
$$2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)=2e^{-2x} -2e^{-x}$$

Pour tout réel $$x\in\left]-\infty ;+\infty \right[$$; on vérifie aisément que $$2e^{-2x}>0$$. Donc le signe de $$f'$$ dépend alors de $$1-e^{x}$$.
$$1-e^{x} \ge 0\Leftrightarrow -e^{x} \ge -1\Leftrightarrow e^{x} \le 1\Leftrightarrow e^{x} \le e^{0} \Leftrightarrow x\le 0$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;0\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[0;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :