Fonction exponentielle

Etude de fonctions - Exercice 5

30 min
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Soit ff la fonction définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=ae−x+be−2xf\left(x\right)=ae^{-x} +be^{-2x} où aa et bb étant deux constantes réelles.
Question 1
La courbe représentative Cf\mathscr{C_f} de la fonction ff est donnée ci-dessous.
Cette courbe passe par le point A(0;1)A\left(0; 1\right) et la tangente à Cf\mathscr{C_f} en AA est parallèle à l’axe des abscisses. On note f′f' la fonction dérivée de ff.

Donner les valeurs exactes de f(0)f\left(0\right) et f′(0)f'\left(0\right).

Correction
D'après l'énoncé, la courbe passe par le point A(0;1)A\left(0; 1\right) ce qui donne
f(0)=1f\left(0\right)=1
.
La tangente à Cf\mathscr{C_f} en AA est parallèle à l’axe des abscisses. Or le coefficient directeur d'une tangente horizontale est nulle. Par définition, f′(0)f'\left(0\right) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 00.
Ainsi
f′(0)=0f'\left(0\right)=0
.
Question 2

Calculer f′(x)f'\left(x\right).

Correction
ff est dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
Ainsi :
f′(x)=−ae−x−2be−2xf'\left(x\right)=-ae^{-x} -2be^{-2x}
.
Question 3

En déduire les valeurs de aa et bb.

Correction
D'après les questions précédentes, nous savons que : f(0)=1f\left(0\right)=1 et f′(0)=0f'\left(0\right)=0.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • f′(0)=0f'\left(0\right)=0 équivaut successivement à :
    −ae−0−2be−2×0=0-ae^{-0} -2be^{-2\times 0} =0
    −ae0−2be0=0-ae^{0} -2be^{0} =0
    −a−2b=0-a-2b=0
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • f(0)=1f\left(0\right)=1 équivaut successivement à :
    ae−0+be−2×0=1ae^{-0} +be^{-2\times 0} =1
    ae0+be0=1ae^{0} +be^{0} =1
    a+b=1a+b=1

    Finalement, il nous faut résoudre le système suivant :
    {a+b=1−a−2b=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {+} & {b} & {=} & {1} \\ {-a} & {-} & {2b} & & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=1−b−a−2b=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {1-b} \\ {-a-2b} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=1−b−1+b−2b=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {1-b} \\ {-1+b-2b} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=1−b−1+b−2b=0\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {1-b} \\ {-1+b-2b} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=1−bb=−1\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {1-b} \\ {b} & {=} & {-1} \end{array}\right.
    {a=2b=−1\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-1} \end{array}\right.
    Il en résulte donc que : f(x)=2e−x−e−2xf\left(x\right)=2e^{-x} -e^{-2x}
    Question 4

    Montrer que , pour tout réel xx, on a : f′(x)=2e−2x(1−ex)f'\left(x\right)=2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)

    Correction
    ff est dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
    f′(x)=−2e−x−(−2e−2x)f'\left(x\right)=-2e^{-x} -\left(-2e^{-2x} \right)
    f′(x)=−2e−x+2e−2xf'\left(x\right)=-2e^{-x} +2e^{-2x}
    Maintenant, nous allons développer l'expression 2e−2x(1−ex)2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right).
    2e−2x(1−ex)=2e−2x×1+2e−2x×(−ex)2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)=2e^{-2x} \times 1+2e^{-2x} \times \left(-e^{x} \right) équivaut successivement à :
    2e−2x(1−ex)=2e−2x−2e−2x×ex2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)=2e^{-2x} -2e^{-2x} \times e^{x}
    2e−2x(1−ex)=2e−2x−2e−2x+x2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)=2e^{-2x} -2e^{-2x+x}
    2e−2x(1−ex)=2e−2x−2e−x2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)=2e^{-2x} -2e^{-x}
    2e−2x(1−ex)=f′(x)2e^{-2x} \left(1-e^{x} \right)=f'\left(x\right)

    Question 5

    Etudier le signe de f′f' et en déduire les variations de ff sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.

    Correction
    Pour tout réel x∈]−∞;+∞[x\in\left]-\infty ;+\infty \right[; on vérifie aisément que 2e−2x>02e^{-2x}>0. Donc le signe de f′f' dépend alors de 1−ex1-e^{x} .
    1−ex≥0⇔−ex≥−1⇔ex≤1⇔ex≤e0⇔x≤01-e^{x} \ge 0\Leftrightarrow -e^{x} \ge -1\Leftrightarrow e^{x} \le 1\Leftrightarrow e^{x} \le e^{0} \Leftrightarrow x\le 0
    Il en résulte donc que :
    • si x∈]−∞;0]x\in\left]-\infty;0\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    • si x∈[0;+∞[x\in\left[0;+\infty\right[ alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :