Etude de fonctions - Exercice 3

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On a :
$$f'\left(x\right)=2e^{2x}+4e^{x}-6$$
Appelons $$g\left(x\right)=2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +3\right)$$ nous allons développer cette expression.
$$g\left(x\right)=2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +3\right)$$ équivaut successivement à :
$$g\left(x\right)=2\left(e^{x} \times e^{x} +3e^{x} -e^{x} -3\right)$$
$$g\left(x\right)=2\left(e^{2x} +2e^{x} -3\right)$$
$$g\left(x\right)=2e^{2x} +4e^{x} -6$$

Nous avons montré que pour tout réel $$x$$ on a : $$f'\left(x\right)=2\left(e^{x} -1\right)\left(e^{x} +3\right)$$
Or, pour tout réel $$x$$, on sait que $$3>0$$ et $$e^{x}>0$$ ou encore $$e^{x}+3>0$$.
Il en résulte que le signe de $$f'$$ dépend du signe de $$e^{x}-1$$.
Ainsi :
$$e^{x}-1\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$e^{x}\ge 1$$
$$e^{x}\ge e^{0}$$
$$x\ge 0$$ . Cela signifie que $$e^{x}-1$$ est positive ou nulle dès que $$x\ge 0$$.
Autrement dit, $$f'\left(x\right)\ge 0$$ dès que $$x\ge 0$$ et $$f'\left(x\right)\le 0$$ dès que $$x\le 0$$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :