Etude de fonctions - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=3x-2$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3e^{x} +\left(3x-2\right)e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=3e^{x} +3x\times e^{x} +\left(-2\right)\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=3e^{x} +3xe^{x} -2e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=3x{\color{blue}{e^{x}}} +{\color{blue}{e^{x}}}$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$.
$$3x+1\ge 0\Leftrightarrow 3x\ge -1\Leftrightarrow x\ge -\frac{1}{3} .$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$3x+1$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-\frac{1}{3}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-\frac{1}{3}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-\frac{1}{3};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :
$$f\left(-\frac{1}{3} \right)=\left(3\times \left(-\frac{1}{3} \right) -2\right)e^{-\frac{1}{3} }$$
$$f\left(-\frac{1}{3} \right)=\left(-1-2\right)e^{-\frac{1}{3} }$$
$$f\left(-\frac{1}{3} \right)=-3e^{-\frac{1}{3} }$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-2x+4$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-2$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-2e^{x} +\left(-2x+4\right)e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=-2e^{x} +\left(-2x\right)\times e^{x} +4\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=-2e^{x} -2xe^{x} +4e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=-2x{\color{blue}{e^{x}}} +2{\color{blue}{e^{x}}}$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$.
$$-2x+2\ge 0\Leftrightarrow -2x\ge -2\Leftrightarrow x\le \frac{-2}{-2} \Leftrightarrow x\le 1$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-2x+2$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$1$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :
De plus :
$$f\left(1\right)=\left(-2\times1+4\right)e^{1}$$
$$f\left(1\right)=\left(-2+4\right)e^{1}$$
$$f\left(1\right)=2e^{1}$$ qui s'écrit également : $$f\left(1\right)=2e$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=4-x$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-1\times e^{x} +\left(4-x\right)\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=-e^{x} +4\times e^{x} -x\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=-e^{x} +4e^{x} -xe^{x}$$
$$f'\left(x\right)=3{\color{blue}{e^{x}}} -x{\color{blue}{e^{x}}}$$
$$f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(3-x\right)$$ Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$.
$$3-x\ge 0\Leftrightarrow -x\ge -3\Leftrightarrow x\le 3 .$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$3-x$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$3$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

De plus :
$$f\left(3\right)=\left(4-3\right)e^{3}$$
$$f\left(3\right)=e^{3}$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2}$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2x$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que $$f'\left(x\right)=2x{\color{blue}{e^{x}}} +x^{2} {\color{blue}{e^{x}}} \Leftrightarrow$$ Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$.
Pour l'étude de $$2x+x^{2}$$, on va utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous. $$\Delta =4$$ , $$x_{1} =0$$ et $$x_{2} =-2$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x^{2} -x$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=4x-1$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(4x-1\right){\color{blue}{e^{x}}} +\left(2x^{2} -x\right){\color{blue}{e^{x}}}$$
$$f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(4x-1+2x^{2} -x\right)$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$.
Pour l'étude de $$2x^{2} +3x-1$$, on va utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous. $$\Delta =17$$ , $$x_{1} =\frac{-3+\sqrt{17} }{4}$$ et $$x_{2} =\frac{-3-\sqrt{17} }{4}$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2$$ et $$v\left(x\right)=1+e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=0$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que $$f'\left(x\right)=\frac{0\times \left(1+e^{x} \right)-2e^{x} }{\left(1+e^{x} \right)^{2} } \Leftrightarrow$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$, il vient alors que $$-2e^{x} <0$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$\left(1+e^{x} \right)^{2} >0$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=e^{x} +1$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}+4$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=e^{x}$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=e^{x} \times \left(e^{x} +4\right)+\left(e^{x} +1\right)\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=e^{x} \times e^{x} +e^{x} \times 4+e^{x} \times e^{x} +1\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=e^{2x} +4e^{x} +e^{2x} +e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=2e^{2x} +5e^{x}$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$ et $$e^{2x}>0$$ . Il en résulte donc que : $$2e^{2x} +5e^{x}>0$$ et de ce fait $$f'\left(x\right)>0$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :