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Fonction exponentielle

Dérivées de la forme exe^{x} - Exercice 2

15 min
30
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes.
Question 1

f(x)=(−4x+2)exf\left(x\right)=\left(-4x+2\right)e^{x}

Correction
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=−4x+2u\left(x\right)=-4x+2 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=−4u'\left(x\right)=-4 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=−4ex+(−4x+2)exf'\left(x\right)=-4{\color{blue}{e^{x}}} +\left(-4x+2\right){\color{blue}{e^{x}}} équivaut successivement à :
    f′(x)=ex(−4−4x+2) f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(-4-4x+2\right)
    f′(x)=ex(−2−4x)f'\left(x\right)=e^{x} \left(-2-4x\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 2

    f(x)=2+exex+xf\left(x\right)=\frac{2+e^{x} }{e^{x} +x}

    Correction
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=2+exu\left(x\right)=2+e^{x} et v(x)=ex+xv\left(x\right)=e^{x} +x.
    Ainsi u′(x)=exu'\left(x\right)=e^{x} et v′(x)=ex+1v'\left(x\right)=e^{x} +1.
    Il vient alors que :
    f′(x)=ex(ex+x)−(ex+2)(ex+1)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(e^{x} +x\right)-\left(e^{x} +2\right)\left(e^{x} +1\right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    f′(x)=e2x+xex−(e2x+ex+2ex+2)(ex+x)2 f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +xe^{x} -\left(e^{2x} +e^{x} +2e^{x} +2\right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    f′(x)=e2x+xex−e2x−ex−2ex−2(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +xe^{x} -e^{2x} -e^{x} -2e^{x} -2}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    Finalement :
    f′(x)=xex−3ex−2(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{xe^{x} -3e^{x} -2}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    Question 3

    f(x)=ex2ex−5f\left(x\right)=\frac{e^{x} }{2e^{x} -5} . On suppose ici que ff est dérivable sur un intervalle II.

    Correction
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur un intervalle II.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=exu\left(x\right)=e^{x} et v(x)=2ex−5v\left(x\right)=2e^{x} -5.
    Ainsi u′(x)=exu'\left(x\right)=e^{x} et v′(x)=2exv'\left(x\right)=2e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=ex(2ex−5)−ex×2ex(2ex−5)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(2e^{x} -5\right)-e^{x} \times 2e^{x} }{\left(2e^{x} -5\right)^{2} }
    f′(x)=2e2x−5ex−2e2x(2ex−5)2f'\left(x\right)=\frac{2e^{2x} -5e^{x} -2e^{2x} }{\left(2e^{x} -5\right)^{2} }
    Finalement :
    f′(x)=−5ex(2ex−5)2f'\left(x\right)=\frac{-5e^{x} }{\left(2e^{x} -5\right)^{2} }
    Question 4

    f(x)=xex−xf\left(x\right)=\frac{x}{e^{x} -x} . On suppose ici que ff est dérivable sur un intervalle II.

    Correction
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur un intervalle II.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=ex−xv\left(x\right)=e^{x}-x.
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=ex−1v'\left(x\right)=e^{x}-1 .
    Il vient alors que :
    f′(x)=1×(ex−x)−x×(ex−1)(ex−x)2f'\left(x\right)=\frac{1\times \left(e^{x} -x\right)-x\times \left(e^{x} -1\right)}{\left(e^{x} -x\right)^{2} }
    f′(x)=ex−x−x×ex−x×(−1)(ex−x)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} -x-x\times e^{x} -x\times \left(-1\right)}{\left(e^{x} -x\right)^{2} }
    f′(x)=ex−x−xex+x(ex−x)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} -x-xe^{x} +x}{\left(e^{x} -x\right)^{2} }
    f′(x)=ex−xex(ex−x)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{e^{x}}} -x{\color{blue}{e^{x}}} }{\left(e^{x} -x\right)^{2} }
    f′(x)=ex(1−x)(ex−x)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{e^{x}}} \left(1-x\right)}{\left(e^{x} -x\right)^{2} }
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 5

    f(x)=(2x+3)exf\left(x\right)=\left(2x+3\right)e^{x}

    Correction
      Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2x+3u\left(x\right)=2x+3 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2ex+(2x+3)exf'\left(x\right)=2{\color{blue}{e^{x}}} +\left(2x+3\right){\color{blue}{e^{x}}} équivaut successivement à :
    f′(x)=ex(2+2x+3) f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(2+2x+3\right)
    f′(x)=ex(2x+5)f'\left(x\right)=e^{x} \left(2x+5\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.