Fonction exponentielle

Dérivées de la forme exe^{x} - Exercice 1

25 min
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Déterminer les dérivées des fonctions suivantes.
Question 1

f(x)=ex+6xf\left(x\right)=e^{x}+6x

Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}. Ainsi :
    f′(x)=ex+6f'\left(x\right)=e^{x}+6
    Question 2

    f(x)=2ex+5x−1f\left(x\right)=2e^{x} +5x-1

    Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}. Ainsi :
    f′(x)=2ex+5f'\left(x\right)=2e^{x} +5
    Question 3

    f(x)=−3ex−2x+9f\left(x\right)=-3e^{x} -2x+9

    Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}. Ainsi :
    f′(x)=−3ex−2f'\left(x\right)=-3e^{x} -2
    Question 4

    f(x)=xexf\left(x\right)=xe^{x}

    Correction
      Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=ex+xex⇔f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} +x{\color{blue}{e^{x}}} \Leftrightarrow
    f′(x)=ex(1+x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(1+x\right)

    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 5

    f(x)=(2x−3)exf\left(x\right)=\left(2x-3\right)e^{x}

    Correction
      Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2x−3u\left(x\right)=2x-3 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que : f′(x)=2ex+(2x−3)ex⇔f′(x)=ex(2+2x−3)f'\left(x\right)=2{\color{blue}{e^{x}}}+\left(2x-3\right){\color{blue}{e^{x}}} \Leftrightarrow f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(2+2x-3\right).
    f′(x)=ex(2x−1)f'\left(x\right)=e^{x} \left(2x-1\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 6

    f(x)=x2exf\left(x\right)=x^{2} e^{x}

    Correction
      Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x2u\left(x\right)=x^{2} et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2xex+x2ex⇔f'\left(x\right)=2x{\color{blue}{e^{x}}} +x^{2} {\color{blue}{e^{x}}} \Leftrightarrow
    f′(x)=ex(2x+x2)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(2x+x^{2} \right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 7

    f(x)=exxf\left(x\right)=\frac{e^{x} }{x}

    Correction
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R∗\mathbb{R^{*}}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=exu\left(x\right)=e^{x} et v(x)=xv\left(x\right)=x.
    Ainsi u′(x)=exu'\left(x\right)=e^{x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
    Il vient alors que :
    f′(x)=xex−exx2⇔f'\left(x\right)=\frac{x{\color{blue}{e^{x}}} -{\color{blue}{e^{x}}} }{x^{2} } \Leftrightarrow
    f′(x)=ex(x−1)x2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{e^{x}}} \left(x-1\right)}{x^{2} }
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 8

    f(x)=ex−7ex+2f\left(x\right)=\frac{e^{x} -7}{e^{x} +2} . On suppose ici que ff est dérivable sur un intervalle II.

    Correction
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur un intervalle II.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=ex−7u\left(x\right)=e^{x}-7 et v(x)=ex+2v\left(x\right)=e^{x}+2.
    Ainsi u′(x)=exu'\left(x\right)=e^{x} et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=ex×(ex+2)−(ex−7)×ex(ex+2)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \times \left(e^{x} +2\right)-\left(e^{x} -7\right)\times e^{x} }{\left(e^{x} +2\right)^{2} }
    f′(x)=ex×ex+2×ex−(ex×ex−7×ex)(ex+2)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \times e^{x} +2\times e^{x} -\left(e^{x} \times e^{x} -7\times e^{x} \right)}{\left(e^{x} +2\right)^{2} }
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b} c'est à dire ex×ex=e2xe^{x} \times e^{x} =e^{2x}
    f′(x)=e2x+2ex−(e2x−7ex)(ex+2)2f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2e^{x} -\left(e^{2x} -7e^{x} \right)}{\left(e^{x} +2\right)^{2} }
    f′(x)=e2x+2ex−e2x+7ex(ex+2)2f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2e^{x} -e^{2x} +7e^{x} }{\left(e^{x} +2\right)^{2} }
    Finalement :
    f′(x)=9ex(ex+2)2f'\left(x\right)=\frac{9e^{x} }{\left(e^{x} +2\right)^{2} }