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Cours sur la fonction exponentielle

La fonction exponentielle

Définition de la fonction exponentielle

Définition 1
Il existe une unique fonction ff dérivable sur R\mathbb{R} telle que f′=ff'=f et f(0)=1f\left(0\right)=1.
Cette fonction ff s'appelle la fonction exponentielle, notée x↦exx\mapsto e^x.
  • On note alors (ex)′=ex\left(e^x\right)'=e^x
  • e0=1e^{0}=1

Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Propriétés

Propriétés
Pour tous réels aa et bb, et pour tout entier naturel nn :
  • ea+b=ea×ebe^{a+b} =e^{a} \times e^{b}
  • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a}}
  • ea−b=eaebe^{a-b} =\frac{e^{a} }{e^{b}}
  • ena=(ea)ne^{na} =\left(e^{a} \right)^{n}
Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
Ecrire les réels donnés sous la forme eke^{k} où kk est un entier relatif.
A=e2×e6A=e^{2} \times e^{6} ; B=e4e−3B=\frac{e^{4} }{e^{-3} } ; C=e3×e2(e5)4C=\frac{e^{3} \times e^{2} }{\left(e^{5} \right)^{4} }.
Il vient alors que :
  • A=e2×e6⇔A=e2+6⇔A=e8A=e^{2} \times e^{6} \Leftrightarrow A=e^{2+6} \Leftrightarrow A=e^{8}
  • B=e4e−3⇔B=e4−(−3)⇔B=e4+3⇔B=e7B=\frac{e^{4} }{e^{-3} } \Leftrightarrow B=e^{4-\left(-3\right)} \Leftrightarrow B=e^{4+3} \Leftrightarrow B=e^{7}
  • C=e3×e2(e5)4⇔C=e3+2e5×4⇔C=e5e20⇔C=e5−20⇔C=e−15C=\frac{e^{3} \times e^{2} }{\left(e^{5} \right)^{4} } \Leftrightarrow C=\frac{e^{3+2} }{e^{5\times 4} } \Leftrightarrow C=\frac{e^{5} }{e^{20} } \Leftrightarrow C=e^{5-20} \Leftrightarrow C=e^{-15}

Applications de la fonction exponentielle

Définition 2
  • La fonction exponentielle est strictement positive sur R\mathbb{R} . Ainsi pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0 .
  • La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Propriétés et équations

Définition 3
  • Pour tous réels xx et yy, ex=ey⇔x=ye^{x} =e^{y} \Leftrightarrow x=y
Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : e3x−1−e5x−7=0e^{3x-1} -e^{5x-7} =0
e3x−1−e5x−7=0e^{3x-1} -e^{5x-7} =0
équivaut successivement à :
e3x−1=e5x−7e^{3x-1} =e^{5x-7}
3x−1=5x−73x-1=5x-7
3x−5x=−7+13x-5x=-7+1
−2x=−6-2x=-6
x=−6−2x=\frac{-6}{-2}
x=3x=3

L'unique solution de l'équation e3x−1−e5x−7=0e^{3x-1} -e^{5x-7} =0 est x=3x=3.

Propriétés et inéquations

Définition 4
  • Pour tous réels xx et yy, ex≥ey⇔x≥ye^{x} \ge e^{y} \Leftrightarrow x\ge y
  • Pour tous réels xx et yy, ex≤ey⇔x≤ye^{x} \le e^{y} \Leftrightarrow x\le y
Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation : 2e5x−4−2≥02e^{5x-4} -2\ge 0
2e5x−4−2≥02e^{5x-4} -2\ge 0
équivaut successivement à :
2e5x−4≥22e^{5x-4} \ge 2
e5x−4≥22e^{5x-4} \ge \frac{2}{2}
e5x−4≥1e^{5x-4} \ge 1
e5x−4≥e0e^{5x-4} \ge e^{0}
5x−4≥05x-4\ge 0
5x≥45x\ge 4
x≥45x\ge \frac{4}{5}

Dérivée de la fonction ex\blue{e^{x}}

Définition 5
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=exf\left(x\right)=e^{x}. ff est dérivable sur R\mathbb{R} .
  • Pour tout réel xx, on a : f′(x)=exf'\left(x\right)=e^{x}
Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=5x−3ex+2f\left(x\right)=5x-3e^{x}+2.
Calculer f′(x)f'\left(x\right) .
ff est dérivable sur R\mathbb{R} ainsi
f′(x)=5−3exf'\left(x\right)=5-3e^{x}

Dérivée de la fonction eax+b\blue{e^{ax+b}}

Définition 6
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=eax+bf\left(x\right)=e^{ax+b} avec aa et bb deux réels. ff est dérivable sur R\mathbb{R} .
  • Pout tout réel xx, on a : f′(x)=aeax+bf'\left(x\right)=ae^{ax+b}
Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2e4x−3f\left(x\right)=2e^{4x-3} . Calculer f′(x)f'\left(x\right) .
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
Ici nous avons a=4{\color{blue}a=4} et b=−3{\color{red}b=-3} .
f(x)=2e4x−3f\left(x\right)=2e^{{\color{blue}4}x{\color{red}-3}}
Ainsi :
f′(x)=2×4×e4x−3f'\left(x\right)=2\times{\color{blue}4}\times e^{{\color{blue}4}x-{\color{red}3}}
D'où
f′(x)=8e4x−3f'\left(x\right)=8e^{4x-3}

Lien entre les suites et la fonction exponentielle

Définition 7
  • Soient aa et bb deux réels.
    Pour tout entier naturel nn, la suite (bean)\left(be^{an}\right) est une suite géométrique de raison eae^{a} et de premier terme bb .

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