Cours sur la fonction exponentielle

La fonction exponentielle

Définition

Définition
Il existe une unique fonction ff dérivable sur R\mathbb{R} telle que f′=ff'=f et f(0)=1f\left(0\right)=1.
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note exp⁡\exp.
  • Pour tout réel xx : exp⁡′(x)=exp⁡(x)\exp'\left(x\right)=\exp\left(x\right) et exp⁡(0)=1\exp\left(0\right)=1.
  • Le nombre exp⁡(1)\exp\left(1\right) est noté ee : e≈2,718e\approx 2{,}718.
  • Pour tout réel xx, on note exp⁡(x)=ex\exp\left(x\right)=e^{x}. Ainsi e0=1e^{0}=1, e1=ee^{1}=e et (ex)′=ex\left(e^{x}\right)'=e^{x}.

Courbe représentative

Aˋ retenir :\pink{\text{À retenir :}}
  • La courbe Cexp⁡\mathcal{C}_{\exp} passe par les points de coordonnées (0;1)\left(0;1\right) et (1;e)\left(1;e\right).
  • Comme exp⁡′(0)=e0=1\exp'\left(0\right)=e^{0}=1, la tangente à Cexp⁡\mathcal{C}_{\exp} au point d'abscisse 00 a pour équation y=1×(x−0)+1y=1\times\left(x-0\right)+1, c'est-à-dire y=x+1y=x+1.

Les propriétés algébriques

Propriété 1
Pour tous réels aa et bb, et pour tout entier relatif nn :
  • ea+b=ea×ebe^{a+b}=e^{a}\times e^{b}
  • e−a=1eae^{-a}=\dfrac{1}{e^{a}}
  • ea−b=eaebe^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}
  • ena=(ea)ne^{na}=\left(e^{a}\right)^{n}
Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
Écrire les réels suivants sous la forme eke^{k} où kk est un entier relatif.
A=e2×e6A=e^{2}\times e^{6} ; B=e4e−3B=\dfrac{e^{4}}{e^{-3}} ; C=e3×e2(e5)4C=\dfrac{e^{3}\times e^{2}}{\left(e^{5}\right)^{4}}
  • A=e2×e6=e2+6=e8A=e^{2}\times e^{6}=e^{2+6}=e^{8}
  • B=e4e−3=e4−(−3)=e4+3=e7B=\dfrac{e^{4}}{e^{-3}}=e^{4-\left(-3\right)}=e^{4+3}=e^{7}
  • C=e3×e2(e5)4=e3+2e5×4=e5e20=e5−20=e−15C=\dfrac{e^{3}\times e^{2}}{\left(e^{5}\right)^{4}}=\dfrac{e^{3+2}}{e^{5\times 4}}=\dfrac{e^{5}}{e^{20}}=e^{5-20}=e^{-15}

Signe, variations et conséquences

Signe et sens de variation

Propriété 2
  • La fonction exponentielle est strictement positive sur R\mathbb{R} : pour tout réel xx, ex>0e^{x}>0.
  • La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}.
Pourquoi ?\pink{\text{Pourquoi ?}}
  • Pour tout réel xx, ex×e−x=ex−x=e0=1e^{x}\times e^{-x}=e^{x-x}=e^{0}=1, donc ex≠0e^{x}\neq 0.
  • De plus ex=ex2+x2=(ex2)2≥0e^{x}=e^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=\left(e^{\frac{x}{2}}\right)^{2}\ge 0. Ainsi ex>0e^{x}>0.
  • Comme exp⁡′=exp⁡\exp'=\exp, la dérivée est strictement positive sur R\mathbb{R} : la fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}.
Meˊthode : eˊtudier le signe d’une expression\pink{\text{Méthode : étudier le signe d'une expression}}
Comme ex>0e^{x}>0 pour tout réel xx, un facteur exe^{x} ne change pas le signe d'un produit.
Étudier le signe de f(x)=(2x−6)exf\left(x\right)=\left(2x-6\right)e^{x} sur R\mathbb{R}.
ex>0e^{x}>0, donc f(x)f\left(x\right) a le même signe que 2x−62x-6. Or 2x−6≥0⇔x≥32x-6\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3.
f(x)<0f\left(x\right)\lt 0 sur ]−∞;3[\left]-\infty;3\right[ ; f(3)=0f\left(3\right)=0 ; f(x)>0f\left(x\right)>0 sur ]3;+∞[\left]3;+\infty\right[

Équations

Propriété 3
Pour tous réels aa et bb : ea=eb⇔a=be^{a}=e^{b}\Leftrightarrow a=b.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e3x−1−e5x−7=0e^{3x-1}-e^{5x-7}=0.
e3x−1−e5x−7=0e^{3x-1}-e^{5x-7}=0
équivaut successivement à :
e3x−1=e5x−7e^{3x-1}=e^{5x-7}
3x−1=5x−73x-1=5x-7
3x−5x=−7+13x-5x=-7+1
−2x=−6-2x=-6
x=−6−2x=\dfrac{-6}{-2}
x=3x=3

L'unique solution de l'équation est 33 : S={3}S=\left\{3\right\}.
Remarques :\pink{\text{Remarques :}}
  • ex=1⇔ex=e0⇔x=0e^{x}=1\Leftrightarrow e^{x}=e^{0}\Leftrightarrow x=0.
  • Une équation comme ex=−2e^{x}=-2 n'a pas de solution, car ex>0e^{x}>0 pour tout réel xx.

Inéquations

Propriété 4
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur R\mathbb{R}, pour tous réels aa et bb :
  • ea<eb⇔a<be^{a}\lt e^{b}\Leftrightarrow a\lt b
  • ea≤eb⇔a≤be^{a}\le e^{b}\Leftrightarrow a\le b
Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation 2e5x−4−2≥02e^{5x-4}-2\ge 0.
2e5x−4−2≥02e^{5x-4}-2\ge 0
équivaut successivement à :
2e5x−4≥22e^{5x-4}\ge 2
e5x−4≥22e^{5x-4}\ge \dfrac{2}{2}
e5x−4≥1e^{5x-4}\ge 1
e5x−4≥e0e^{5x-4}\ge e^{0}
5x−4≥05x-4\ge 0
5x≥45x\ge 4
x≥45x\ge \dfrac{4}{5}
S=[45;+∞[S=\left[\dfrac{4}{5};+\infty\right[

Dérivées

Dérivée de la fonction x↦ex\blue{x\mapsto e^{x}}

Propriété 5
La fonction x↦exx\mapsto e^{x} est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel xx : (ex)′=ex\left(e^{x}\right)'=e^{x}.
Exemple 1 :\pink{\text{Exemple 1 :}}
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=5x−3ex+2f\left(x\right)=5x-3e^{x}+2. Calculer f′(x)f'\left(x\right).
ff est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel xx :
f′(x)=5−3exf'\left(x\right)=5-3e^{x}
Exemple 2 : deˊriveˊe d’un produit et variations\pink{\text{Exemple 2 : dérivée d'un produit et variations}}
Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=(x−1)exg\left(x\right)=\left(x-1\right)e^{x}.
On pose u(x)=x−1u\left(x\right)=x-1 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x}.
g′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)g'\left(x\right)=u'\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v'\left(x\right)
g′(x)=1×ex+(x−1)exg'\left(x\right)=1\times e^{x}+\left(x-1\right)e^{x}
g′(x)=ex(1+x−1)g'\left(x\right)=e^{x}\left(1+x-1\right)
g′(x)=xexg'\left(x\right)=xe^{x}

Comme ex>0e^{x}>0, g′(x)g'\left(x\right) a le signe de xx. De plus g(0)=(0−1)e0=−1g\left(0\right)=\left(0-1\right)e^{0}=-1.

Dérivée de la fonction x↦eax+b\blue{x\mapsto e^{ax+b}}

Propriété 6
Soient aa et bb deux réels. La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=eax+bf\left(x\right)=e^{ax+b} est dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Pour tout réel xx, on a : f′(x)=aeax+bf'\left(x\right)=ae^{ax+b}
Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2e4x−3f\left(x\right)=2e^{4x-3}. Calculer f′(x)f'\left(x\right).
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
Ici nous avons a=4{\color{blue}a=4} et b=−3{\color{red}b=-3} : f(x)=2e4x−3f\left(x\right)=2e^{{\color{blue}4}x{\color{red}-3}}.
Ainsi : f′(x)=2×4×e4x−3f'\left(x\right)=2\times{\color{blue}4}\times e^{{\color{blue}4}x{\color{red}-3}}
D'où
f′(x)=8e4x−3f'\left(x\right)=8e^{4x-3}

Variations des fonctions x↦ekx\blue{x\mapsto e^{kx}}

Propriété 7
Soit kk un réel non nul et ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ekxf\left(x\right)=e^{kx}.
  • Si k>0k>0, ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}.
  • Si k<0k\lt 0, ff est strictement décroissante sur R\mathbb{R}.
Pourquoi ?\pink{\text{Pourquoi ?}}
D'après la propriété 6, f′(x)=kekxf'\left(x\right)=ke^{kx}. Comme ekx>0e^{kx}>0, f′(x)f'\left(x\right) a le signe de kk.
Toutes ces courbes passent par le point de coordonnées (0;1)\left(0;1\right) car ek×0=e0=1e^{k\times 0}=e^{0}=1.

Lien avec les suites géométriques

Propriété 8
Soient aa et bb deux réels. La suite (un)\left(u_{n}\right) définie pour tout entier naturel nn par un=beanu_{n}=be^{an} est une suite géométrique de raison eae^{a} et de premier terme u0=bu_{0}=b.
Pourquoi ?\pink{\text{Pourquoi ?}}
Pour tout entier naturel nn : un+1=bea(n+1)=bean+a=bean×ea=ea×unu_{n+1}=be^{a\left(n+1\right)}=be^{an+a}=be^{an}\times e^{a}=e^{a}\times u_{n}.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
La suite (un)\left(u_{n}\right) définie par un=3e−0,5nu_{n}=3e^{-0{,}5n} est géométrique de raison q=e−0,5≈0,61q=e^{-0{,}5}\approx 0{,}61 et de premier terme u0=3u_{0}=3.
Comme u0>0u_{0}>0 et 0<q<10\lt q\lt 1, la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.

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