Angles orientés

Sous forme de petits problèmes - Exercice 3

20 min
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ABCABC est un triangle rectangle isocèle en BB de sens direct. Les triangles ANBANB et AMCAMC sont équilatéraux, orientés dans le sens direct.
La représentation graphique de ces trois éléments est donnée ci-dessous:
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
Question 1

(BC→;AC→)\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(−u→;−v→)=(u→;v→)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
On a :
(BC→;AC→)=(−CB→;−CA→)\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(-\overrightarrow{CB} ;-\overrightarrow{CA} \right)
(BC→;AC→)=(CB→;CA→)\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) . Ici l'angle orienté (CB→;CB→)\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CB} \right) est dans le sens indirect.
(BC→;AC→)=−π4\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)=-\frac{\pi }{4}

Question 2

(AN→;AC→)\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AC} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} , v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} on a alors : (u→;v→)+(v→;w→)=(u→;w→)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right).
Il s'agit de la relation de Chasles.
D'après la relation de Chasles, on a :
(AN→;AC→)=(AN→;AB→)+(AB→;AC→)\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AB} \right)+\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right) . Ici les angles orientés (AN⃗;AB⃗)\left(\vec{AN} ;\vec{AB} \right) et (AN→;AB→)\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AB} \right) sont dans le sens direct.
(AN→;AC→)=π4+π3\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}
Ainsi :
(AN→;AC→)=7π12\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{7\pi }{12}
Question 3

(MA→;AB→)\left(\overrightarrow{MA} ;\overrightarrow{AB} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(−u→;v→)=(u→;v→)+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
On a :
(MA→;AB→)=(−AM→;AB→)\left(\overrightarrow{MA} ;\overrightarrow{AB} \right)=\left(-\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{AB} \right)
(MA→;AB→)=(AM→;AB→)+π\left(\overrightarrow{MA} ;\overrightarrow{AB} \right)=\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{AB} \right)+\pi
(MA→;AB→)=(AM→;AB→)+π\left(\overrightarrow{MA} ;\overrightarrow{AB} \right)=\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{AB} \right)+\pi
(MA→;AB→)=(AM→;AC→)+(AC→;AB→)+π\left(\overrightarrow{MA} ;\overrightarrow{AB} \right)=\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AB} \right)+\pi . On a utilisé la relation de Chasles.
Les angles orientés (AM→;AC→)\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{AC}\right) et (AC→;AB→)\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AB}\right) sont dans le sens indirect.
Ainsi :
(MA→;AB→)=−π3+−π4+π\left(\overrightarrow{MA} ;\overrightarrow{AB} \right)=\frac{-\pi }{3} + \frac{-\pi }{4} +\pi
(MA→;AB→)=5π12\left(\overrightarrow{MA} ;\overrightarrow{AB} \right)=\frac{5\pi }{12}
Question 4

(AN→;AM→)\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AM} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} , v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} on a alors : (u→;v→)+(v→;w→)=(u→;w→)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right).
Il s'agit de la relation de Chasles.
D'après la relation de Chasles, on a :
(AN→;AM→)=(AN→;AB→)+(AB→;AC→)+(AC→;AM→)\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AM} \right)=\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AB} \right)+\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AM} \right)
Les angles orientés (AN→;AB→) \left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AB} \right) ; (AB→;AC→)\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right) et (AC→;AM→)\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AM} \right) sont dans le sens direct. Il vient alors que :
(AN→;AM→)=π3+π4+π3\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AM} \right)=\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} +\frac{\pi }{3}
(AN→;AM→)=11π12\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AM} \right)=\frac{11\pi }{12}
Ainsi :
(AN→;AM→)=11π12\left(\overrightarrow{AN} ;\overrightarrow{AM} \right)=\frac{11\pi }{12}

Question 5

(AM→;CB→)\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{CB} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} , v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} on a alors : (u→;v→)+(v→;w→)=(u→;w→)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right).
Il s'agit de la relation de Chasles.
D'après la relation de Chasles, on a :
(AM→;CB→)=(AM→;AC→)+(AC→;CB→)\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{CB} \right)=\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{CB} \right)
(AM→;CB→)=(AM→;AC→)+(−CA→;CB→)\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{CB} \right)=\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(-\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right)
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(−u→;v→)=(u→;v→)+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(AM→;CB→)=(AM→;AC→)+(CA→;CB→)+π\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{CB} \right)=\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right)+\pi
(AM→;CB→)=−π3+π4+π=\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{CB} \right)=\frac{-\pi }{3} +\frac{\pi }{4}+ \pi=. L'angle orienté (AM→;AC→)\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{AC} \right) est dans le sens indirect et l'angle orienté (CA→;CB→)\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right) est dans le sens direct.
Ainsi :
(AM→;CB→)=11π12\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{CB} \right)=\frac{11\pi }{12}