🔴  Lives #BAC2024

À partir du 12 mai, révise le bac avec nous sur YouTube tous les soirs à 19h30 ! Découvrir la chaîne →

Angles orientés

Sous forme de petits problèmes - Exercice 1

20 min
40
ABCABC est un triangle rectangle en AA de sens direct tel que (BA;BC)=π6\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{BC} \right)=-\frac{\pi }{6} et ACDACD est un triangle équilatéral de sens direct.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
Question 1

(CA;CB)\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right)

Correction
D'une part, les angles du triangle ACDACD, ils sont tous égaux à π3\frac{\pi }{3} car ACDACD est un triangle équilatéral.
D'autre part, nous allons calculer tous les angles du triangle ABCABC.
Nous ne tiendrons pas compte du sens direct pour les calculer.
La mesure de l'angle CAB^\widehat{CAB} est π2\frac{\pi }{2} et celle de l'angle ABC^\widehat{ABC} est π6\frac{\pi }{6} or on sait que la somme des trois angles d'un triangle vaut π\pi .
Ainsi :
ACB^=ππ2π6\widehat{ACB}=\pi -\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{6} soit ACB^=π3\widehat{ACB}=\frac{\pi }{3} .
L'angle (CA;CB)\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right) est dans le sens direct donc :
(CA;CB)=π3\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right)=\frac{\pi }{3}
Question 2

(AD;AB)\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AB} \right)

Correction
L'angle (AD;AB)\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AB} \right) est dans le sens indirect.
(AD;AB)=(AD;AC)+(AC;AB)\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AB} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AB} \right) d'après la relation de Chasles.
(AD;AB)=π3π2\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AB} \right)=-\frac{\pi }{3} -\frac{\pi }{2}
Ainsi :
(AD;AB)=5π6\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AB} \right)=-\frac{5\pi }{6}
Question 3

(CD;AD)\left(\overrightarrow{CD} ;\overrightarrow{AD} \right)

Correction
(CD;AD)=(DC;DA)\left(\overrightarrow{CD} ;\overrightarrow{AD} \right)=\left(-\overrightarrow{DC} ;-\overrightarrow{DA} \right)
Soient les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} on a alors :
(u;v)=(u;v)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
De cette manière les deux vecteurs ont bien la même origine DD.
(CD;AD)=(DC;DA).\left(\overrightarrow{CD} ;\overrightarrow{AD} \right)=\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DA} \right).
L'angle (DC;DA)\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DA} \right) est dans le sens indirect.
Ainsi :
(CD;AD)=π3\left(\overrightarrow{CD} ;\overrightarrow{AD} \right)=-\frac{\pi }{3}
Question 4

(AB;CD)\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)

Correction
(AB;CD)=(AB;AC)+(AC;CD)\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{CD} \right) d'après la relation de Chasles.
Ensuite, n'oubliez pas que les vecteurs qui composent un angle orienté doivent avoir la même origine.
D'où :
(AB;CD)=(AB;AC)+(CA;CD)\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(-\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CD} \right)
Soient les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} on a alors :
(u;v)=(u;v)+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(AB;CD)=(AB;AC)+(CA;CD)+π\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CD} \right)+\pi
(AB;CD)=π2π3+π\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{3} +\pi
(AB;CD)=7π6.\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\frac{7\pi }{6} .
On va donner la mesure principale de (AB;CD)\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right).
Ainsi : (AB;CD)=7π62π\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\frac{7\pi }{6} -2\pi soit :
(AB;CD)=5π6\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=-\frac{5\pi }{6}