Propriétés des angles orientés - Exercice 2

$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;-\overrightarrow{AC} \right)$$
De cette manière les deux vecteurs ont bien la même origine $$A$$.
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)+\pi$$
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\frac{\pi }{4} +\pi$$
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\frac{\pi }{4} +\frac{4\pi }{4}$$
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\frac{5\pi }{4}$$
Ici, il ne s'agit pas d'une mesure principale.
A la calculatrice, on tape $$\red{\frac{5}{4} =1,25}$$. On s'intéresse uniquement à la partie entière c'est à dire à la partie avant la virgule. Ici on a 1. Comme 1 est impair on rajoute 1 ce qui nous donne 2. On a retranché à $$\red{\frac{5\pi }{4}}$$ la valeur $$\red{2\pi }$$ qui est bien un multiple de $$\red{2k\pi }$$ où $$\red{k }$$ est un entier relatif.
La partie en rouge est une explication pour obtenir la mesure principale. Vous ne devez pas l'écrire sur une copie. Ce qui doit apparaitre sur une copie est donnée ci-dessous.
Il vient alors :
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\frac{5\pi }{4} -2\pi$$
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\frac{5\pi }{4} -\frac{8\pi }{4}$$
Ainsi :

$$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(-\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)$$
De cette manière les deux vecteurs ont bien la même origine $$A$$.
$$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)+\pi$$
$$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi }{4} +\pi$$
$$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi }{4} +\frac{4\pi }{4}$$
$$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{5\pi }{4}$$ . Ici, il ne s'agit pas d'une mesure principale.
A la calculatrice, on tape $$\frac{5}{4} =1,25$$. On s'intéresse uniquement à la partie entière c'est à dire à la partie avant la virgule. Ici on a 1.
Comme 1 est impair on rajoute 1 ce qui nous donne 2. On a retranché à $$\frac{5\pi }{4}$$ la valeur $$2\pi$$ qui est bien un multiple de $$2k\pi$$
La partie en rouge est une explication pour obtenir la mesure principale. Vous ne devez pas l'écrire sur une copie. Ce qui doit apparaitre sur une copie est donnée ci-dessous.
Il vient alors :
$$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{5\pi }{4} -2\pi$$
$$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{5\pi }{4} -\frac{8\pi }{4}$$
Ainsi :

$$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{CA} \right)=\left(-\overrightarrow{AB} ;-\overrightarrow{AC} \right)$$
De cette manière les deux vecteurs ont bien la même origine $$A$$.
Ainsi :
$$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{CA} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)$$

$$\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AB} \right)=-\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)$$
Ainsi :

$$\left(3\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)$$ . On ne prend pas compte les réels devant les vecteurs.
$$\left(3\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(-\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)$$
$$\left(3\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi }{4} +\pi$$
$$\left(3\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi }{4} +\frac{4\pi }{4}$$

On a vu, précédemment, que la mesure principale de $$\frac{5\pi }{4}$$ est $$-\frac{3\pi }{4}$$.