🔴  Lives #BAC2024

À partir du 12 mai, révise le bac avec nous sur YouTube tous les soirs à 19h30 ! Découvrir la chaîne →

Angles orientés

Propriétés des angles orientés - Exercice 1

10 min
15
On donne la mesure de l'angle orienté suivant (u;v)=2π5[2π]\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} \left[2\pi\right] et (u;v)=π6[2π]\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\frac{\pi }{6} \left[2\pi\right].
Calculez :
Question 1

(u;v)\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} on a alors :
(u;v)=(u;v)+π\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
Ainsi :
(u;v)=(u;v)+π\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(u;v)=2π5+π\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\pi
(u;v)=2π5+5π5\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\frac{5\pi }{5}
D'où :
(u;v)=3π5[2π]\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\frac{3\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 2

(u;v)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} on a alors :
(u;v)=(u;v)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Ainsi :
(u;v)=(u;v)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(u;v)=2π5[2π]\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 3

(u;v)\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} on a alors :
(u;v)=(u;v)+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(u;v)=(u;v)+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(u;v)=2π5+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\pi
(u;v)=2π5+5π5\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\frac{5\pi }{5}
Ainsi :
(u;v)=3π5[2π]\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\frac{3\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 4

(v;u)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)

Correction
Soient les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} on a alors :
(v;u)=(u;v)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=-\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(v;u)=(u;v)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=-\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(v;u)=(2π5)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=-\left(-\frac{2\pi }{5} \right)
(v;u)=2π5[2π]\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=\frac{2\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 5

(2u;3v)\left(2\overrightarrow{u} ;3\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} et α\alpha et β\beta deux réels. On a alors :
(αu;βv)=(u;v)\left(\alpha\overrightarrow{ u} ;\beta\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(2u;3v)=(u;v).\left(2\overrightarrow{u} ;3\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
Dans cet exemple, on ne prend pas compte des réels devant les vecteurs.
Donc :
(2u;3v)=2π5[2π]\left(2\overrightarrow{u} ;3\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 6

(4u;5v)\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} et α\alpha et β\beta deux réels. On a alors :
(αu;βv)=(u;v)\left(\alpha\overrightarrow{ u} ;\beta\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(4u;5v)=(u;v).\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right).
Dans cet exemple, on ne prend pas compte des réels devant les vecteurs mais on garde les signes.
Ainsi :
(4u;5v)=(u;v)\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(4u;5v)=(u;v)+π\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(4u;5v)=2π5+π\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\pi
(4u;5v)=2π5+5π5\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=-\frac{2\pi }{5} +\frac{5\pi }{5}
Ainsi :
(4u;5v)=3π5[2π]\left(-4\overrightarrow{u} ;5\overrightarrow{v} \right)=\frac{3\pi }{5} \left[2\pi\right]
Question 7

(2u;w)\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)

Correction
Soient les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} et α\alpha et β\beta deux réels. On a alors :
(αu;βv)=(u;v)\left(\alpha\overrightarrow{ u} ;\beta\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(2u;w)=(u;w)\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)
Soient trois vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} , on a alors :
(u;w)=(u;v)+(v;w)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right) . Il s'agit de la relation de Chasles.
(2u;w)=(u;v)+(v;w)\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right)
(2u;w)=2π5+π6\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=-\frac{2\pi }{5}+\frac{\pi }{6}
(2u;w)=2π×65×65×π6×5\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=-\frac{2\pi\times6 }{5\times6}-\frac{5\times\pi }{6\times5}
(2u;w)=12π305π30\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=-\frac{12\pi }{30}-\frac{5\pi }{30}
(2u;w)=17π30[2π]\left(2\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)=-\frac{17\pi }{30} \left[2\pi\right]