Angles orientés

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

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Sur la figure ci-dessous, le triangle ABCABC est rectangle isocèle en BB. Les triangles AEBAEB et ACDACD sont équilatéraux.
Question 1

Donner les mesures des angles géométriques EAB^\widehat{EAB} , ABE^\widehat{ABE} , BAC^\widehat{BAC} , ABC^\widehat{ABC} , ACB^\widehat{ACB} , DCA^\widehat{DCA} et DAC^\widehat{DAC} en radians.

Correction
  • Le triangle ABCABC est un triangle rectangle isocèle en BB. De ce fait : ABC^=π2\widehat{ABC}=\frac{\pi}{2} ; ACB^=π4\widehat{ACB}=\frac{\pi}{4} et BAC^=π4\widehat{BAC}=\frac{\pi}{4} .
  • Les triangles AEBAEB et ACDACD sont équilatéraux. De ce fait , tous leurs angles valent 6060 degrés autrement dit π3\frac{\pi}{3} radians. Il vient alors que : EAB^=π3\widehat{EAB}=\frac{\pi}{3} ; DAC^=π3\widehat{DAC}=\frac{\pi}{3} ; DCA^=π3\widehat{DCA}=\frac{\pi}{3} et ABE^=π3\widehat{ABE}=\frac{\pi}{3} .
    • Question 2

    Donner, en indiquant les étapes, la mesures principale de l'angles orienté suivant : (AB→;AC→)\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)

    Correction
    Comme le triangle ABCABC est un triangle rectangle isocèle en BB, on a vu alors que BAC^=π4\widehat{BAC}=\frac{\pi}{4}.
    Or l'angle orienté (AB→;AC→)\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right) est dans le sens direct. De ce fait :
    (AB→;AC→)=π4[2π]\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi}{4}\left[2\pi\right]
    Question 3

    (BC→;AC→)\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)

    Correction
    Dans un premier temps, nous allons écrire l'angle orienté (BC→;AC→)\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right) à partir d'un sommet commun , ici le sommet CC .
    (BC→;AC→)=(−CB→;−CA→)\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(-\overrightarrow{CB} ;-\overrightarrow{CA} \right)
    Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
    (−u→;−v→)=(u→;v→)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
    (BC→;AC→)=(CB→;CA→)\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)
    Nous avons vu à la question 11 que ACB^=π4\widehat{ACB}=\frac{\pi}{4} . L'angle orienté (CB→;CA→)\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) est dans le sens indirect ( c'est à dire dans le sens des aiguilles d'une montre ).
    De ce fait :
    (BC→;AC→)=(CB→;CA→)=−π4[2π]\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)=-\frac{\pi}{4}\left[2\pi\right]
    Question 4

    (AE→;AC→)\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AC} \right)

    Correction
    D'après la relation de Chasles, on a :
    (AE→;AC→)=(AE→;AB→)+(AB→;AC→)\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AB} \right)+\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right) . Les angles orientés (AE→;AB→)\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AB} \right) et (AB→;AC→)\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right) sont dans le sens direct.
    Il vient alors que :
    (AE→;AC→)=π3+π4\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}
    Ainsi :
    (AE→;AC→)=7π12[2π]\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{7\pi}{12}\left[2\pi\right]
    Question 5

    (DA→;AC→)\left(\overrightarrow{DA} ;\overrightarrow{AC} \right)

    Correction
    Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} , v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} on a alors :
    (u→;v→)+(v→;w→)=(u→;w→)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right).
    Il s'agit de la relation de Chasles.
    Dans un premier temps, nous allons écrire l'angle orienté (DA→;AC→)\left(\overrightarrow{DA} ;\overrightarrow{AC} \right) à partir d'un sommet commun , ici le sommet AA .
    (DA→;AC→)=(−AD→;AC→)\left(\overrightarrow{DA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(-\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)
    Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
    (−u→;v→)=(u→;v→)+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
    (DA→;AC→)=(AD→;AC→)+π\left(\overrightarrow{DA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\pi
    Nous avons vu à la question 11 que DAC^=π3\widehat{DAC}=\frac{\pi}{3} . L'angle orienté (AD→;AC→)\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right) est dans le sens indirect ( c'est à dire dans le sens des aiguilles d'une montre ).
    Ainsi :
    (DA→;AC→)=(AD→;AC→)+π=−π3+π\left(\overrightarrow{DA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\pi=-\frac{\pi}{3}+\pi
    De ce fait :
    (DA→;AC→)=(AD→;AC→)+π=2π3[2π]\left(\overrightarrow{DA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\pi=\frac{2\pi}{3}\left[2\pi\right]
    Question 6

    (AD→;CB→)\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{CB} \right)

    Correction
    Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} , v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} on a alors :
    (u→;v→)+(v→;w→)=(u→;w→)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right).
    Il s'agit de la relation de Chasles.
    D'après la relation de Chasles, on a :
    (AD→;CB→)=(AD→;AC→)+(AC→;CB→)\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{CB} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{CB} \right)
    (AD→;CB→)=(AD→;AC→)+(−CA→;CB→)\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{CB} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(-\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right)
    (AD→;CB→)=(AD→;AC→)+(CA→;CB→)+π\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{CB} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right) +\pi . L'angle orienté (AD→;AC→)\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right) est dans le sens indirect et (CA→;CB→)\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right) est dans le sens direct.
    Il vient alors que :
    (AD→;CB→)=−π3+π4+π\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{CB} \right)=-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} +\pi
    Ainsi :
    (AD→;CB→)=11π12[2π]\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{CB} \right)=\frac{11\pi}{12}\left[2\pi\right]