Angles orientés

Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

25 min
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On donne la mesure de l'angle orienté suivant (u→;v→)=−π4[2π]\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=-\frac{\pi }{4} \left[2\pi\right] et (v→;w→)=−π3[2π]\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right)=-\frac{\pi }{3} \left[2\pi\right] .
Calculez :
Question 1

(u→;−v→)\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(u→;−v→)=(u→;v→)+π\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
Ainsi :
(u→;−v→)=(u→;v→)+π\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(u→;−v→)=−π4+π\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=-\frac{\pi }{4} +\pi
(u→;−v→)=−π4+4π4\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=-\frac{\pi }{4} +\frac{4\pi }{4}
(u→;−v→)=3π4[2π]\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\frac{3\pi }{4} \left[2\pi\right]
Question 2

(−u→;−v→)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(−u→;−v→)=(u→;v→)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Ainsi :
(−u→;−v→)=(u→;v→)\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
D'où :
(−u→;−v→)=−π4[2π]\left(-\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right)=-\frac{\pi }{4} \left[2\pi\right]

Question 3

(−u→;v→)\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(−u→;v→)=(u→;v→)+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(−u→;v→)=(u→;v→)+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\pi
(−u→;v→)=−π4+π\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=-\frac{\pi }{4} +\pi
(−u→;v→)=−π4+4π4\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=-\frac{\pi }{4} +\frac{4\pi }{4}
Ainsi :
(−u→;v→)=3π4[2π]\left(-\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=\frac{3\pi }{4} \left[2\pi\right]

Question 4

(v→;u→)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} on a alors :
(v→;u→)=−(u→;v→)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=-\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(v→;u→)=−(u→;v→)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=-\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(v→;u→)=−(−π4)\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=-\left(-\frac{\pi }{4} \right)
Ainsi :
(v→;u→)=π4[2π]\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=\frac{\pi }{4} \left[2\pi\right]

Question 5

(8u→;2v→)\left(8\overrightarrow{u} ;2\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} et α\alpha et β\beta deux réels. On a alors :
(αu→;βv→)=(u→;v→)\left(\alpha\overrightarrow{ u} ;\beta\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(8u→;2v→)=(u→;v→).\left(8\overrightarrow{u} ;2\overrightarrow{v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
Dans cet exemple, on ne prend pas compte des réels devant les vecteurs.
Donc :
(8u→;2v→)=−π4[2π]\left(8\overrightarrow{u} ;2\overrightarrow{v} \right)=-\frac{\pi }{4} \left[2\pi\right]

Question 6

(2u→;−3v→)\left(2\overrightarrow{u} ;-3\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} et α\alpha et β\beta deux réels. On a alors :
(αu→;βv→)=(u→;v→)\left(\alpha\overrightarrow{ u} ;\beta\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(2u→;−3v→)=(u→;−v→).\left(2\overrightarrow{ u} ;-3\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;-\overrightarrow{v} \right).
Dans cet exemple, on ne prend pas compte des réels devant les vecteurs mais on garde les signes.
Ainsi :
(2u→;−3v→)=(u→;−v→)\left(2\overrightarrow{ u} ;-3\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{ u} ;-\overrightarrow{ v} \right)
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{ u} et v→\overrightarrow{ v} on a alors : (u→;−v→)=(u→;v→)+π\left(\overrightarrow{ u} ;-\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{ u} ;\overrightarrow{ v} \right)+\pi
(2u→;−3v→)=(u→;v→)+π\left(2\overrightarrow{ u} ;-3\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{ u} ;\overrightarrow{ v} \right)+\pi
(2u→;−3v→)=−π4+π\left(2\overrightarrow{ u} ;-3\overrightarrow{ v} \right)=-\frac{\pi }{4} +\pi
(2u→;−3v→)=−π4+4π4\left(2\overrightarrow{ u} ;-3\overrightarrow{ v} \right)=-\frac{\pi }{4} +\frac{4\pi }{4}
(2u→;−3v→)=3π4[2π]\left(2\overrightarrow{ u} ;-3\overrightarrow{ v} \right)=\frac{3\pi }{4} \left[2\pi\right]

Question 7

(u→;4w→)\left(\overrightarrow{u} ;4\overrightarrow{w} \right)

Correction
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} et α\alpha et β\beta deux réels. On a alors :
(αu→;βv→)=(u→;v→)\left(\alpha\overrightarrow{ u} ;\beta\overrightarrow{ v} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
(u→;4w→)=(u→;w→)\left(\overrightarrow{u} ;4\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)
Soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} , v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} on a alors :
(u→;v→)+(v→;w→)=(u→;w→)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right).
Il s'agit de la relation de Chasles.
(u→;4w→)=(u→;v→)+(v→;w→)\left(\overrightarrow{u} ;4\overrightarrow{w} \right)=\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)+\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{w} \right)
(u→;4w→)=−π4−π3\left(\overrightarrow{u} ;4\overrightarrow{w} \right)=-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3}
(u→;4w→)=−3×π3×4−4×π4×3\left(\overrightarrow{u} ;4\overrightarrow{w} \right)=-\frac{3\times\pi }{3\times4}-\frac{4\times\pi }{4\times3}
(u→;4w→)=−3π12−4π12\left(\overrightarrow{u} ;4\overrightarrow{w} \right)=-\frac{3\pi }{12}-\frac{4\pi }{12}
Ainsi :
(u→;4w→)=−7π12[2π]\left(\overrightarrow{u} ;4\overrightarrow{w} \right)=-\frac{7\pi }{12} \left[2\pi\right]