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Suites géométriques

Savoir travailler avec les indices - Exercice 1

5 min
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Question 1

Soit nn un entier naturel non nul.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=5nu_{n} =5^n.
Exprimer, en fonction de nn, l'expression de un+1u_{n+1} .

Correction
On sait que un=5nu_{n} =5^n.
Pour obtenir un+1u_{n+1} il faut remplacer tous les termes en nn dans l'expression de unu_{n} par n+1n+1.
Il vient alors que :
un+1=5n+1u_{n+1} =5^{n+1}

Question 2

Soit nn un entier naturel non nul.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=4×2nu_{n} =4\times2^n.
Exprimer, en fonction de nn, l'expression de un+1u_{n+1} .

Correction
On sait que un=4×2nu_{n} =4\times2^n.
Pour obtenir un+1u_{n+1} il faut remplacer tous les termes en nn dans l'expression de unu_{n} par n+1n+1.
Il vient alors que :
un+1=4×2n+1u_{n+1} =4\times2^{n+1}

Question 3

Soit nn un entier naturel non nul.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=6×(43)nu_{n} =6\times\left(\frac{4}{3}\right)^n.
Exprimer, en fonction de nn, l'expression de un+1u_{n+1} .

Correction
On sait que un=6×(43)nu_{n} =6\times\left(\frac{4}{3}\right)^n.
Pour obtenir un+1u_{n+1} il faut remplacer tous les termes en nn dans l'expression de unu_{n} par n+1n+1.
Il vient alors que :
un+1=6×(43)n+1u_{n+1} =6\times\left(\frac{4}{3}\right)^{n+1}

Question 4

Soit nn un entier naturel non nul.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=2n9nu_{n} =\frac{2^n}{9^n}.
Exprimer, en fonction de nn, les expressions de un+1u_{n+1} .

Correction
Soit nn un entier naturel, nous savons que un=2n9nu_{n} =\frac{2^n}{9^n}. Nous allons écrire la suite (un)\left(u_n\right) sous une autre forme.
    Soient xx et yy deux réels dont y≠0y\ne0 et aa un entier naturel :
  • (xy)a=xaya\left(\frac{x}{y} \right)^{a} =\frac{x^{a} }{y^{a} }
Ainsi :
un=2n9nu_{n} =\frac{2^n}{9^n} ce qui nous donne un=(29)nu_n=\left(\frac{2}{9}\right)^n
Pour obtenir un+1u_{n+1} il faut remplacer tous les termes en nn dans l'expression de unu_{n} par n+1n+1.
Il vient alors que :
un+1=(29)n+1u_{n+1} =\left(\frac{2}{9}\right)^{n+1}