Reconnaître une croissance exponentielle (suite géométrique ou non) - Exercice 1

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Pour chaque tableau, dire si les valeurs peuvent être les premiers termes d'une suite géométrique, d'une suite arithmétique, ou d'aucune des deux. Justifier.
Question 1

n01234un51545135405\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline u_{n} & 5 & 15 & 45 & 135 & 405 \\ \hline\end{array}

Correction
Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre qq :
  • on calcule les quotients de deux termes consécutifs un+1un\frac{u_{n+1}}{u_{n}} : s'ils sont tous égaux à qq, les valeurs peuvent être les termes d'une suite géométrique de raison qq ; si deux quotients ne sont pas égaux, la suite n'est pas géométrique ;
  • pour une suite arithmétique, ce sont les différences un+1−unu_{n+1}-u_{n} qui sont toutes égales.
Quotients : 155=3\frac{15}{5}=3 ; 4515=3\frac{45}{15}=3 ; 13545=3\frac{135}{45}=3 ; 405135=3\frac{405}{135}=3 : ils sont tous égaux à 33.
Différences : 1010 ; 3030 ; 9090 ; 270270 : elles ne sont pas égales.
Ces valeurs peuvent être les termes d'une suite géométrique de raison 33 ; pas d'une suite arithmétique.

Question 2

n01234un200180162145,8131,22\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline u_{n} & 200 & 180 & 162 & 145,8 & 131,22 \\ \hline\end{array}

Correction
Quotients : 180200=0,9\frac{180}{200}=0,9 ; 162180=0,9\frac{162}{180}=0,9 ; 145,8162=0,9\frac{145,8}{162}=0,9 ; 131,22145,8=0,9\frac{131,22}{145,8}=0,9 : ils sont tous égaux à 0,90,9.
Différences : −20-20 ; −18-18 ; −16,2-16,2 ; −14,58-14,58 : elles ne sont pas égales.
Ces valeurs peuvent être les termes d'une suite géométrique de raison 0,90,9 ; pas d'une suite arithmétique.

Multiplier par 0,90,9, c'est diminuer de 10 %10\,\% : c'est une décroissance exponentielle.
Question 3

n01234un37111519\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline u_{n} & 3 & 7 & 11 & 15 & 19 \\ \hline\end{array}

Correction
Différences : 7−3=47-3=4 ; 11−7=411-7=4 ; 15−11=415-11=4 ; 19−15=419-15=4 : elles sont toutes égales à 44.
Quotients : 73≈2,33\frac{7}{3}\approx2,33 et 117≈1,57\frac{11}{7}\approx1,57 : ils ne sont pas égaux.
Ces valeurs peuvent être les termes d'une suite arithmétique de raison 44 ; pas d'une suite géométrique.

Question 4

n01234un2481422\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline u_{n} & 2 & 4 & 8 & 14 & 22 \\ \hline\end{array}

Correction
Quotients : 42=2\frac{4}{2}=2 ; 84=2\frac{8}{4}=2 ; mais 148=1,75\frac{14}{8}=1,75 : ils ne sont pas tous égaux.
Différences : 22 ; 44 ; 66 ; 88 : elles ne sont pas égales.
Ces valeurs ne sont les termes ni d'une suite géométrique, ni d'une suite arithmétique.
Les deux premiers quotients sont égaux : il faut calculer tous les quotients, un seul quotient différent suffit pour conclure.

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