Problèmes de seuil : calculatrice, tableur, boucle « Tant que », graphique - Exercice 1

10 min

Un capital de

500

€ est placé à intérêts composés au taux annuel de

8\,\%

: chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital. On note

C(n)

le capital, en euros, au bout de

n

années ; on l'écrit aussi

C_{n}

. Ainsi

C(0)=500

Question 1

Justifier que la suite $\left(C_{n}\right)$ est géométrique, puis exprimer $C(n)$ en fonction de $n$ .

Correction

Augmenter une quantité de

t\,\%

, c'est la multiplier par

1+\frac{t}{100}

; la diminuer de

t\,\%

, c'est la multiplier par

1-\frac{t}{100}

une grandeur qui évolue chaque fois du même pourcentage (ou qui double, qui est divisée par $2$ …) se modélise par une suite géométrique : c'est une croissance ou une décroissance exponentielle ;
une grandeur qui augmente (ou diminue) chaque fois de la même quantité se modélise par une suite arithmétique : c'est une croissance linéaire.

Augmenter de

8\,\%

, c'est multiplier par

1+\frac{8}{100}=1,08

: pour tout entier naturel

n

C(n+1)=1,08\times C(n)

.
La suite

\left(C_{n}\right)

est donc géométrique de raison

q=1,08

et de premier terme

C(0)=500

, d'où :

C(n)=500\times1,08^{n}

Question 2

Correction

Pour déterminer à partir de quel rang

n

les termes d'une suite géométrique dépassent (ou passent sous) une valeur donnée, on peut :

utiliser un tableau de valeurs (calculatrice ou tableur) et repérer le premier rang qui convient ;
utiliser une boucle « Tant que », qui calcule les termes un par un tant que la valeur n'est pas atteinte ;
lire un graphique, puis confirmer par le calcul.

On revient ensuite au contexte (heure, année…) et on vérifie toujours avec deux termes consécutifs.

Le capital a doublé lorsque

C(n)\geq1\,000

. On affiche un tableau de valeurs de

C(n)=500\times1,08^{n}

$C(9)=500\times1,08^{9}\approx999,50$ : c'est encore strictement moins que $1\,000$ ;
$C(10)=500\times1,08^{10}\approx1\,079,46$ : c'est au moins $1\,000$ .

Le capital aura doublé au bout de

10

ans.

Au bout de

9

ans, il ne manque que

50

centimes : c'est pour cela qu'on vérifie toujours avec deux termes consécutifs.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.