Polynésie – 4 septembre 2026 - Exercice 1

25 min
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En 20252025, une étude démographique indique qu'il y a eu 60  00060\;000 naissances et 40  00040\;000 décès dans une population donnée. Les spécialistes modélisent que le nombre de naissances diminuera de 2 %2\,\% chaque année, tandis que le nombre de décès augmentera de 900900 par an.
Soit nn un entier naturel. On note :
  • unu_n le nombre de naissances prévues l'année 2025+n2025+n ;
  • vnv_n le nombre de décès prévus l'année 2025+n2025+n.
    • On a donc u0=60  000u_0=60\;000 et v0=40  000v_0=40\;000.
    Question 1

    Déterminer le nombre de naissances prévues l'année 20262026.

    Correction
    Dire que le nombre de naissances diminue de 2 %2\,\% chaque année revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} le nombre de naissances par 1−2100=0,981-\dfrac{2}{100}=0{,}98 chaque année.
    2026=2025+12026=2025+\red{1} . Il nous faut donc calculer u1u_{\red{1}}.
    Ainsi :
    u1=0,98×u0u_1=0{,}98\times u_0
    u1=0,98×60  000u_1=0{,}98\times 60\;000
    Ainsi :
    u1=58  800u_1=58\;800

    En 20262026, on prévoit 58  80058\;800 naissances.
    Question 2

    Déterminer le nombre de décès prévus l'année 20262026.

    Correction
    Le nombre de décès augmente de 900900 par an. Il vient alors que :
    v1=v0+900v_1=v_0+900
    v1=40  000+900v_1=40\;000+900
    d'où :
    v1=40  900v_1=40\;900

    En 20262026, on prévoit 40  90040\;900 décès.
    Question 3

    Justifier que pour tout entier naturel nn, un+1=0,98unu_{n+1}=0{,}98u_n.

    Correction
    Dire que le nombre de naissances diminue de 2 %2\,\% chaque année revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} le nombre de naissances par 1−2100=0,981-\dfrac{2}{100}=0{,}98 chaque année.
    unu_n est le nombre de naissances de l'année 2025+n2025+n et un+1u_{n+1} celui de l'année suivante.
    Il en résulte donc que, pour tout entier naturel nn :
    un+1=0,98unu_{n+1}=0{,}98u_n
    Question 4

    La suite (un)\left(u_n\right) est-elle arithmétique ou géométrique ? Préciser sa raison.

    Correction
    Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 0,98 .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • D'après la question précédente, pour tout entier naturel nn : un+1=un×0,98u_{n+1}=u_n\times 0{,}98.
    La suite (un)\left(u_n\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est u0=60  000u_0=60\;000 et sa raison est q=0,98q=0{,}98.
    Question 5

    Pour tout entier naturel nn, exprimer unu_n en fonction de nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn ou encore le terme général de la suite unu_{n} est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p} : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=60  000u_0=60\;000 et la raison vaut q=0,98q=0{,}98.
    Il en résulte donc que :
    un=60  000×0,98nu_n=60\;000\times 0{,}98^{n}
    Question 6

    Justifier que la suite (vn)\left(v_n\right) est arithmétique. Préciser sa raison.

    Correction
    Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante qui correspond à la raison ici r=900{\color{blue}{r=900}} .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n}+r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • Le nombre de décès augmente de 900900 par an : on obtient vn+1v_{n+1} en ajoutant 900900 à vnv_n.
    Ainsi, pour tout entier naturel nn :
    vn+1=vn+900v_{n+1}=v_n+900

    La suite (vn)\left(v_n\right) est donc une suite arithmétique. Son premier terme est v0=40  000v_0=40\;000 et sa raison est r=900r=900.
    Question 7

    Pour tout entier naturel nn, exprimer vnv_n en fonction de nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(n−p)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut v0=40  000v_0=40\;000 et la raison r=900r=900.
    Il en résulte donc que :
    vn=40  000+900nv_n=40\;000+900n
    Question 8
    La feuille de calcul ci-dessous donne les valeurs successives de unu_n et de vnv_n (les valeurs sont évidemment arrondies à l'unité).

    Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C3\text{C3} de sorte que, recopiée vers le bas, elle permette d'afficher les valeurs de la suite (vn)\left(v_n\right) ?

    Correction
    La cellule C3\text{C3} contient v1v_1 et la cellule C2\text{C2} contient v0v_0. Comme v1=v0+900v_1=v_0+900, on saisit en C3\text{C3} :
    =C2+900\text{=C2+900}

    En recopiant cette formule vers le bas, chaque cellule de la colonne C est égale à la cellule du dessus augmentée de 900900 : on obtient bien vn+1=vn+900v_{n+1}=v_n+900.
    Question 9

    Justifier, par un calcul, pourquoi 49  00049\;000 est affiché dans la cellule C12\text{C12}.

    Correction
    La ligne 1212 correspond au rang n=10n=10 (cellule A12\text{A12}) : la cellule C12\text{C12} contient donc v10v_{10}.
    D'après la question précédente, vn=40  000+900nv_n=40\;000+900n. Il vient alors que :
    v10=40  000+900×10v_{10}=40\;000+900\times 10
    v10=40  000+9  000v_{10}=40\;000+9\;000
    Ainsi :
    v10=49  000v_{10}=49\;000
    Question 10

    On appelle solde naturel annuel la différence entre le nombre de naissances et le nombre de décès de l'année. Ainsi le solde naturel en 20252025 est 20  00020\;000.
    À l'aide de la feuille de calcul ci-dessus, déterminer à partir de quelle année le solde naturel de cette population devient négatif.

    Correction
    Le solde naturel de l'année 2025+n2025+n est un−vnu_n-v_n. Il devient négatif lorsque un<vnu_n\lt v_n, c'est-à-dire lorsqu'il y a moins de naissances que de décès.
  • Pour n=10n=10 : u10−v10=49  024−49  000=24>0u_{10}-v_{10}=49\;024-49\;000=24\gt 0.
  • Pour n=11n=11 : u11−v11=48  044−49  900=−1  856<0u_{11}-v_{11}=48\;044-49\;900=-1\;856\lt 0.
    • Le solde naturel devient négatif à partir du rang n=11\red{n=11}, c'est-à-dire de l'année 2025+11=20362025+\red{11}=2036 .
    Le solde naturel devient négatif à partir de l'année 20362036.

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