Polynésie – 12 juin 2026 - Exercice 1

30 min
45
Deux entreprises A et B souhaitent réduire leurs déchets plastiques.
  • L'entreprise A réduit ses déchets de 1515 tonnes chaque année. Elle produit 500500 tonnes de déchets en 20202020.
  • L'entreprise B réduit ses déchets de 8 %8\,\% chaque année. Elle produit 600600 tonnes de déchets en 20202020.
    • Question 1
    Partie A
    On a représenté ci-dessous les quantités annuelles estimées de déchets plastiques des entreprises A et B entre 20202020 et 20302030, en prenant l'année 20202020 comme année de rang 00.

    Justifier que la quantité de déchets produits par l'entreprise A est représentée par les points marqués d'une croix.

    Correction
    En 20202020 (rang 00), l'entreprise A produit 500500 tonnes de déchets et l'entreprise B en produit 600600.
    Au rang 00, la croix est placée à 500500 et le point rond à 600600.
    De plus, l'entreprise A réduit ses déchets de la même quantité (1515 tonnes) chaque année : ses points sont alignés, ce qui est le cas des croix.
    La quantité de déchets de l'entreprise A est représentée par les croix.
    Question 2

    Déterminer graphiquement à partir de quelle année l'entreprise B produit moins de déchets que l'entreprise A.

    Correction
    On cherche le premier rang pour lequel le point rond (entreprise B) est situé sous la croix (entreprise A).
    Au rang 33, le point rond est encore au-dessus de la croix ; au rang 44, il passe en dessous.
    Or le rang 4\red{4} correspond à l'année 2020+4=20242020+\red{4}=2024 .
    L'entreprise B produit moins de déchets que l'entreprise A à partir de 20242024.
    Question 3

    L'entreprise A atteindra-t-elle son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques en 20302030 ?

    Correction
    Réduire au moins de moitié ses 500500 tonnes de déchets, c'est produire au plus 5002=250\dfrac{500}{2}=250 tonnes.
    L'année 2030=2020+102030=2020+\red{10} correspond au rang 10\red{10}. Au rang 1010, la croix est placée à 350350 tonnes environ.
    Or 350>250350\gt 250 :
    L'entreprise A n'atteindra pas son objectif en 20302030.
    Question 4
    Partie B
    On note unu_n la quantité de déchets plastiques, en tonnes, produits par l'entreprise A lors de l'année 2020+n2020+n, où nn est un entier naturel.
    Ainsi, u0=500u_0=500.

    Calculer u1u_1.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    Correction
    L'entreprise A réduit ses déchets de 1515 tonnes chaque année. Il vient alors que :
    u1=u0−15u_1=u_0-15
    u1=500−15u_1=500-15
    d'où :
    u1=485u_1=485

    2020+1=20212020+\red{1}=2021 : en 20212021, l'entreprise A produit 485485 tonnes de déchets plastiques.
    Question 5

    Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est arithmétique.
    Préciser sa raison.

    Correction
    Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante qui correspond à la raison ici r=−15{\color{blue}{r=-15}} .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n}+r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • L'entreprise A réduit ses déchets de 1515 tonnes chaque année : on obtient un+1u_{n+1} en retirant 1515 à unu_n.
    Ainsi, pour tout entier naturel nn :
    un+1=un−15u_{n+1}=u_n-15

    que l'on peut écrire un+1=un+(−15)u_{n+1}=u_n+\left(-15\right).
    La suite (un)\left(u_n\right) est donc une suite arithmétique. Son premier terme est u0=500u_0=500 et sa raison est r=−15r=-15.
    Question 6
    On a utilisé un tableur pour calculer les termes de la suite (un)\left(u_n\right).
    Un extrait de la feuille de calcul est donné ci-dessous.

    Dans la cellule C4\text{C4}, quelle formule doit-on saisir puis recopier vers le bas, afin d'obtenir les termes de la suite (un)\left(u_n\right) ?

    Correction
    La cellule C4\text{C4} contient u1u_1 et la cellule C3\text{C3} contient u0u_0. Comme u1=u0−15u_1=u_0-15, on saisit en C4\text{C4} :
    =C3-15\text{=C3-15}

    En recopiant cette formule vers le bas, chaque cellule de la colonne C est égale à la cellule du dessus diminuée de 1515 : on obtient bien un+1=un−15u_{n+1}=u_n-15.
    Question 7

    Déterminer au bout de combien d'années l'entreprise A atteindra son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques.

    Correction
    L'objectif est atteint lorsque la quantité de déchets est inférieure ou égale à 250250 tonnes : on cherche le premier rang nn tel que un≤250u_n\le 250.
    D'après la feuille de calcul :
    u16=260>250u_{16}=260\gt 250 et u17=245≤250u_{17}=245\le 250.
    Par le calcul : la suite est arithmétique, donc un=500−15nu_n=500-15n et :
    500−15n≤250500-15n\le 250
    −15n≤−250-15n\le -250
    n≥−250−15n\ge \dfrac{-250}{-15} (on divise par −15-15 qui est négatif : on change le sens de l'inégalité)
    n≥16,7n\ge 16{,}7 environ, donc n=17\red{n=17}.
    L'entreprise A atteindra son objectif au bout de 1717 ans, en 20372037.
    Question 8
    On note vnv_n la quantité de déchets plastiques, en tonnes, produits par l'entreprise B lors de l'année 2020+n2020+n, où nn est un entier naturel.
    Ainsi, v0=600v_0=600.

    Justifier que pour tout entier naturel nn, vn+1=0,92vnv_{n+1}=0{,}92v_n.

    Correction
    Dire que l'entreprise B réduit ses déchets de 8 %8\,\% chaque année revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} la quantité de déchets par 1−8100=0,921-\dfrac{8}{100}=0{,}92 chaque année.
    vnv_n est la quantité de déchets de l'année 2020+n2020+n et vn+1v_{n+1} celle de l'année suivante.
    Il en résulte donc que, pour tout entier naturel nn :
    vn+1=0,92vnv_{n+1}=0{,}92v_n
    Question 9

    La suite (vn)\left(v_n\right) est-elle arithmétique ou géométrique ?
    Préciser sa raison.

    Correction
    Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 0,92 .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • D'après la question précédente, pour tout entier naturel nn : vn+1=vn×0,92v_{n+1}=v_n\times 0{,}92.
    La suite (vn)\left(v_n\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est v0=600v_0=600 et sa raison est q=0,92q=0{,}92.
    Question 10

    Exprimer vnv_n en fonction de nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn ou encore le terme général de la suite unu_{n} est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p} : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut v0=600v_0=600 et la raison vaut q=0,92q=0{,}92.
    Il en résulte donc que :
    vn=600×0,92nv_n=600\times 0{,}92^{n}
    Question 11

    Au bout de combien d'années l'entreprise B aura-t-elle atteint son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques ?
    Justifier votre réponse à l'aide du tableau ci-dessous (valeurs de 0,92n0{,}92^{n} arrondies au centième).

    Correction
    Réduire au moins de moitié ses 600600 tonnes de déchets, c'est produire au plus 6002=300\dfrac{600}{2}=300 tonnes : on cherche le premier rang nn tel que vn≤300v_n\le 300.
    600×0,92n≤300600\times 0{,}92^{n}\le 300 équivaut successivement à :
    0,92n≤3006000{,}92^{n}\le \dfrac{300}{600}
    0,92n≤0,50{,}92^{n}\le 0{,}5
    D'après le tableau :
    0,928≈0,51>0,50{,}92^{8}\approx 0{,}51\gt 0{,}5 et 0,929≈0,47≤0,50{,}92^{9}\approx 0{,}47\le 0{,}5 : le premier rang qui convient est n=9\red{n=9}.
    Vérification : v8=600×0,928≈308>300v_8=600\times 0{,}92^{8}\approx 308\gt 300 et v9=600×0,929≈283≤300v_9=600\times 0{,}92^{9}\approx 283\le 300.
    L'entreprise B aura atteint son objectif au bout de 99 ans, en 20292029.

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.