Modéliser : intérêts composés, demi-vie, ordres de grandeur - Exercice 1

10 min

Lina place

2\,000

€ pendant plusieurs années. Elle hésite entre deux placements :

placement A, à intérêts simples : chaque année, elle reçoit $3\,\%$ du capital de départ, soit $60$ € ;
placement B, à intérêts composés : chaque année, le capital augmente de $3\,\%$ ; les intérêts sont donc calculés sur le capital de l'année précédente.

On note

A(n)

B(n)

les capitaux, en euros, au bout de

n

années.

Question 1

Calculer $A(1)$ , $A(2)$ , $B(1)$ et $B(2)$ .

Correction

Placement A : on ajoute

60

€ chaque année :

A(1)=2\,000+60=2\,060

A(2)=2\,060+60=2\,120

.
Placement B : on multiplie par

1,03

chaque année :

B(1)=2\,000\times1,03=2\,060

B(2)=2\,060\times1,03=2\,121,80

.
La deuxième année, le placement B rapporte

61,80

€ : les intérêts portent aussi sur les

60

€ de la première année.

Question 2

Correction

on ajoute toujours $60$ : $\left(A_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r=60$ , et $A(n)=2\,000+60n$ ;
on multiplie toujours par $1,03$ : $\left(B_{n}\right)$ est géométrique de raison $q=1,03$ , et $B(n)=2\,000\times1,03^{n}$ .

A(n)=2\,000+60n

;

B(n)=2\,000\times1,03^{n}

Question 3

Correction

au bout de $10$ ans : $A(10)=2\,000+60\times10=2\,600$ et $B(10)=2\,000\times1,03^{10}\approx2\,687,83$ ; écart : $87,83$ € ;
au bout de $30$ ans : $A(30)=2\,000+60\times30=3\,800$ et $B(30)=2\,000\times1,03^{30}\approx4\,854,52$ ; écart : $1\,054,52$ €.

Le placement B rapporte toujours plus, et l'écart se creuse : c'est la différence entre une croissance linéaire et une croissance exponentielle.

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