Métropole (secours) – 12 juin 2026 - Exercice 1

25 min
40
On étudie l'évolution du nombre d'habitants de deux villes A et B à partir du 1er janvier 20202020.
On a modélisé ci-dessous l'évolution de la population de ces deux villes en fonction du nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 20202020.
En abscisse, on lit le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 20202020 et en ordonnée, le nombre d'habitants en millions.
Question 1
Partie A : Étude de la population de la ville A
On admet que l'évolution du nombre d'habitants de la ville A a été modélisée par la suite géométrique (un)\left(u_n\right) définie pour tout entier naturel nn par : un=3×1,07nu_n=3\times 1{,}07^{n} où nn est le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 20202020 et unu_n est le nombre d'habitants l'année 2020+n2020+n, exprimé en millions.

Quel est le nombre d'habitants de la ville A au 1er janvier 20202020 ?

Correction
L'année 2020=2020+02020=2020+\red{0} correspond au rang n=0\red{n=0}. Il nous faut donc calculer u0u_{\red{0}} :
u0=3×1,070u_0=3\times 1{,}07^{0}
u0=3×1u_0=3\times 1
Ainsi :
u0=3u_0=3

Au 1er janvier 20202020, la ville A compte 33 millions d'habitants.
Question 2

Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est croissante.

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} strictement positif alors :
  • Si 0<q<10\lt q\lt 1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q>1q\gt 1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
La suite (un)\left(u_n\right) est géométrique : un=3×1,07nu_n=3\times 1{,}07^{n}, de premier terme u0=3u_0=3 et de raison q=1,07q=1{,}07.
Nous savons que : q=1,07>1q=1{,}07\gt 1 et u0=3>0u_0=3\gt 0 alors :
La suite (un)\left(u_n\right) est croissante.
Question 3

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice et donner le taux d'évolution annuel, exprimé en pourcentage, de la population de la ville A selon ce modèle.

Correction
La suite (un)\left(u_n\right) est croissante : selon ce modèle, la population de la ville A augmente chaque année.
Chaque année, on multiplie la population par la raison q=1,07q=1{,}07. Or :
1,07=1+0,07=1+71001{,}07=1+0{,}07=1+\dfrac{7}{100}
La population de la ville A augmente de 7 %7\,\% par an.
Question 4

Estimer, à l'aide du graphique, le nombre d'années nécessaires depuis le 1er janvier 20202020 pour que le nombre d'habitants de la ville A double selon ce modèle.

Correction
Le nombre d'habitants double lorsqu'il atteint 2×3=62\times 3=6 millions. On trace la droite d'équation y=6y=6 et on cherche le premier point de la ville A situé au-dessus.
Au rang 1010, le point de la ville A est encore sous la droite (u10≈5,9u_{10}\approx 5{,}9) ; au rang 1111, il est au-dessus (u11≈6,3u_{11}\approx 6{,}3).
Il faut environ 1111 ans pour que la population de la ville A double.
Question 5
Partie B : Étude de la population de la ville B
On admet que l'évolution du nombre d'habitants de la ville B a été modélisée par la suite arithmétique (vn)\left(v_n\right) définie pour tout entier naturel nn par : vn=6+0,1nv_n=6+0{,}1n où nn est le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 20202020 et vnv_n est le nombre d'habitants l'année 2020+n2020+n, exprimé en millions.

Donner les deux premiers termes v0v_0, v1v_1 de la suite (vn)\left(v_n\right) ainsi que sa raison.

Correction
v0=6+0,1×0v_0=6+0{,}1\times 0 d'où :
v0=6v_0=6

v1=6+0,1×1v_1=6+0{,}1\times 1 d'où :
v1=6,1v_1=6{,}1
Soit (vn)\left(v_{n}\right) une suite arithmétique de premier terme v0v_{0} et de raison rr : vn=v0+n×rv_{n}=v_{0}+n\times r.

On reconnaît vn=6+n×0,1v_n=6+n\times 0{,}1 :
La raison de la suite (vn)\left(v_n\right) est r=0,1r=0{,}1.
Vérification : v1−v0=6,1−6=0,1v_1-v_0=6{,}1-6=0{,}1. Chaque année, la population de la ville B augmente de 0,10{,}1 million, soit 100  000100\;000 habitants.
Question 6

Selon ce modèle, calculer le nombre d'habitants de la ville B au 1er janvier 20352035.

Correction
vnv_{\red{n}} représente le nombre d'habitants, en millions, de la ville B l'année (2020+n)\left(2020+\red{n}\right).
2035=2020+152035=2020+\red{15} . Il nous faut donc calculer v15v_{\red{15}}. Il vient alors que :
v15=6+0,1×15v_{15}=6+0{,}1\times 15
v15=6+1,5v_{15}=6+1{,}5
Ainsi :
v15=7,5v_{15}=7{,}5

Selon ce modèle, au 1er janvier 20352035, la ville B compte 7,57{,}5 millions d'habitants.
Question 7

Déterminer, par le calcul, le nombre d'années nécessaires pour que la population de la ville B soit égale à 7,37{,}3 millions d'habitants selon ce modèle.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation vn=7,3v_n=7{,}3.
6+0,1n=7,36+0{,}1n=7{,}3 équivaut successivement à :
0,1n=7,3−60{,}1n=7{,}3-6
0,1n=1,30{,}1n=1{,}3
n=1,30,1n=\dfrac{1{,}3}{0{,}1}
n=13n=13

Il faut 1313 ans pour que la population de la ville B soit égale à 7,37{,}3 millions d'habitants (en 20332033).
Question 8
Partie C : Comparaison de la population des deux villes

Estimer, à l'aide du graphique, en quelle année la population de la ville A dépassera celle de la ville B.

Correction
On cherche le premier rang pour lequel le point de la ville A est situé au-dessus du point de la ville B.
Au rang 1313, les deux points sont presque confondus, mais celui de la ville A est encore un peu en dessous (u13≈7,23u_{13}\approx 7{,}23 et v13=7,3v_{13}=7{,}3). Au rang 1414, le point de la ville A est nettement au-dessus (u14≈7,74u_{14}\approx 7{,}74 et v14=7,4v_{14}=7{,}4).
Le rang 14\red{14} correspond à l'année 2020+14=20342020+\red{14}=2034 .
La population de la ville A dépassera celle de la ville B en 20342034.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.