Métropole – 12 juin 2026 - Exercice 1

30 min
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En 20252025, Emma et Pierre disposent d'un capital initial de 20  00020\;000 €.
Pour réaliser un projet, ils ont besoin que le capital s'élève à 22  00022\;000 €.
Ils souhaitent donc placer leur capital durant plusieurs années.
Ils ont le choix entre deux placements :
Question 1
A – Premier placement.
Avec ce placement A, le capital augmente chaque année de 200200 € par rapport au capital de l'année précédente.
On note ana_n la somme disponible en 2025+n2025+n.
On a donc a0=20  000a_0=20\;000.

Calculer a1a_1 et a2a_2.

Correction
Le capital augmente chaque année de 200200 €. Il vient alors que :
  • Calcul de a1a_{1} .
    • a1=a0+200a_1=a_0+200
    a1=20  000+200a_1=20\;000+200
    d'où :
    a1=20  200a_1=20\;200
  • Calcul de a2a_{2} .
    • a2=a1+200a_2=a_1+200
    a2=20  200+200a_2=20\;200+200
    d'où :
    a2=20  400a_2=20\;400
    Question 2

    Exprimer an+1a_{n+1} en fonction de ana_n pour tout entier naturel nn.

    Correction
    ana_n est la somme disponible en 2025+n2025+n et an+1a_{n+1} celle de l'année suivante.
    Le capital augmente chaque année de 200200 € : on obtient an+1a_{n+1} en ajoutant 200200 à ana_n.
    Ainsi, pour tout entier naturel nn :
    an+1=an+200a_{n+1}=a_n+200
    Question 3

    En déduire la nature de la suite (an)\left(a_n\right).
    Préciser sa raison.

    Correction
    Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante qui correspond à la raison ici r=200{\color{blue}{r=200}} .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n}+r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • D'après la question précédente, pour tout entier naturel nn : an+1=an+200a_{n+1}=a_n+200.
    La suite (an)\left(a_n\right) est donc une suite arithmétique. Son premier terme est a0=20  000a_0=20\;000 et sa raison est r=200r=200.
    Question 4

    Exprimer ana_n en fonction de nn pour tout entier naturel nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(n−p)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut a0=20  000a_0=20\;000 et la raison r=200r=200.
    Il en résulte donc que :
    an=20  000+200na_n=20\;000+200n
    Question 5

    À partir de quelle année auront-ils la somme nécessaire pour leur projet ?

    Correction
    Il nous faut résoudre l'inéquation : an≥22  000a_n\ge 22\;000
    D'après la question précédente, an=20  000+200na_n=20\;000+200n. Il vient alors :
    20  000+200n≥22  00020\;000+200n\ge 22\;000
    200n≥22  000−20  000200n\ge 22\;000-20\;000
    200n≥2  000200n\ge 2\;000
    n≥2  000200n\ge\dfrac{2\;000}{200}
    n≥10n\ge 10
    Le plus petit entier qui convient est n=10\red{n=10}. Or ana_{\red{n}} est la somme disponible en (2025+n)\left(2025+\red{n}\right). D'où 2025+10=20352025+\red{10}=2035 .
    Avec le placement A, ils auront la somme nécessaire à partir de 20352035.
    Question 6
    B – Second placement.
    Avec le placement B, le capital augmente chaque année de 2 %2\,\% par rapport au capital de l'année précédente.
    On note bnb_n la somme disponible en 2025+n2025+n.
    On a donc b0=20  000b_0=20\;000.

    Détailler le calcul qui permet d'obtenir b1=20  400b_1=20\;400.

    Correction
    Dire que le capital augmente chaque année de 2 %2\,\% revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} le capital par 1+2100=1,021+\dfrac{2}{100}=1{,}02 chaque année.
    Ainsi :
    b1=1,02×b0b_1=1{,}02\times b_0
    b1=1,02×20  000b_1=1{,}02\times 20\;000
    Ainsi :
    b1=20  400b_1=20\;400
    Autre méthode : 2 %2\,\% de 20  00020\;000 € représentent 20  000×2100=40020\;000\times\dfrac{2}{100}=400 €, et 20  000+400=20  40020\;000+400=20\;400.
    Question 7

    Exprimer bn+1b_{n+1} en fonction de bnb_n pour tout entier naturel nn.

    Correction
    Dire que le capital augmente chaque année de 2 %2\,\% revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} le capital par 1+2100=1,021+\dfrac{2}{100}=1{,}02 chaque année.
    bnb_n est la somme disponible en 2025+n2025+n et bn+1b_{n+1} celle de l'année suivante.
    Ainsi, pour tout entier naturel nn :
    bn+1=1,02×bnb_{n+1}=1{,}02\times b_n
    Question 8

    En déduire la nature de la suite (bn)\left(b_n\right).
    Préciser sa raison.

    Correction
    Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,02 .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • D'après la question précédente, pour tout entier naturel nn : bn+1=bn×1,02b_{n+1}=b_n\times 1{,}02.
    La suite (bn)\left(b_n\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est b0=20  000b_0=20\;000 et sa raison est q=1,02q=1{,}02.
    Question 9

    Exprimer bnb_n en fonction de nn pour tout entier naturel nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn ou encore le terme général de la suite unu_{n} est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p} : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut b0=20  000b_0=20\;000 et la raison vaut q=1,02q=1{,}02.
    Il en résulte donc que :
    bn=20  000×1,02nb_n=20\;000\times 1{,}02^{n}
    Question 10
    Grâce à l'extrait de tableur ci-dessous, on visualise le capital arrondi à l'euro près.

    Déterminer à partir de quelle année ils auront la somme nécessaire pour leur projet.

    Correction
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} strictement positif alors :
    • Si 0<q<10\lt q\lt 1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q>1q\gt 1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
    Ici q=1,02>1q=1{,}02\gt 1 et b0=20  000>0b_0=20\;000\gt 0 : la suite (bn)\left(b_n\right) est croissante. On cherche le premier rang nn tel que bn≥22  000b_n\ge 22\;000.
    D'après le tableur :
    b4≈21  649<22  000b_4\approx 21\;649\lt 22\;000 et b5≈22  082≥22  000b_5\approx 22\;082\ge 22\;000 : le premier rang qui convient est n=5\red{n=5}.
    Or bnb_{\red{n}} est la somme disponible en (2025+n)\left(2025+\red{n}\right). D'où 2025+5=20302025+\red{5}=2030 .
    Avec le placement B, ils auront la somme nécessaire à partir de 20302030.
    Question 11
    C – Bilan

    Quel placement conseiller à Emma et Pierre afin qu'ils puissent réaliser leur projet le plus tôt possible ? Justifier.

    Correction
    Avec le placement A, le capital atteint 22  00022\;000 € en 20352035 (question 5) ; avec le placement B, dès 20302030 (question 10).
    Il faut leur conseiller le placement B.

    Il leur permet de réaliser leur projet 55 ans plus tôt. Les 2 %2\,\% portent sur un capital qui grandit : dès la première année, ils rapportent 400400 €, soit deux fois plus que les 200200 € du placement A.

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