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Justifier qu'une suite est géométrique - Exercice 1

6 min
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Question 1

La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par un=3nu_{n}=3^n. La suite (un)\left(u_{n}\right) est à termes strictement positifs.
Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est géométrique.

Correction
Soit (un)\left(u_n\right) une suite dont les termes sont strictement positifs.
Si un+1un=Q\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =Q où QQ est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique. Dans ce cas, le réel QQ sera la raison de la suite géométrique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=3nu_{n} =3^n alors :
un+1=3n+1u_{n+1} =3^{n+1}
2ème étape : Calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } .
un+1un=3n+13n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{3^{n+1} }{3^{n} } équivaut successivement à :
Soit xx un réel non nul.
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
un+1un=3n+1−n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =3^{n+1-n}
un+1un=3\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =3
Il en résulte que la suite un=3nu_{n}=3^n est une suite géométrique de raison 33.
Lorsque la suite explicite est de la forme a×qna\times q^{n} , alors la suite est géométrique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} }.
Question 2

La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par un=5×4nu_{n}=5\times4^n. La suite (un)\left(u_{n}\right) est à termes strictement positifs.
Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est géométrique.

Correction
Soit (un)\left(u_n\right) une suite dont les termes sont strictement positifs.
Si un+1un=Q\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =Q où QQ est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique. Dans ce cas, le réel QQ sera la raison de la suite géométrique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=5×4nu_{n} =5\times4^n alors :
un+1=5×4n+1u_{n+1} =5\times4^{n+1}
2ème étape : Calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } .
un+1un=5×4n+15×4n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{5\times4^{n+1} }{5\times4^{n} } équivaut successivement à :
un+1un=5×4n+15×4n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\cancel{5}\times4^{n+1} }{\cancel{5}\times4^{n} }
un+1un=4n+14n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{4^{n+1} }{4^{n} }
Soit xx un réel non nul.
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
un+1un=4n+1−n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =4^{n+1-n}
un+1un=4\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =4
Il en résulte que la suite un=5×4nu_{n}=5\times4^n est une suite géométrique de raison 44.
Lorsque la suite explicite est de la forme a×qna\times q^{n} , alors la suite est géométrique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} }.
Question 3

La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par un=6×7nu_{n}=6\times7^n. La suite (un)\left(u_{n}\right) est à termes strictement positifs.
Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est géométrique.

Correction
Soit (un)\left(u_n\right) une suite dont les termes sont strictement positifs.
Si un+1un=Q\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =Q où QQ est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique. Dans ce cas, le réel QQ sera la raison de la suite géométrique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=6×7nu_{n}=6\times7^n alors :
un+1=6×7n+1u_{n+1} =6\times7^{n+1}
2ème étape : Calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } .
un+1un=6×7n+16×7n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{6\times7^{n+1} }{6\times7^{n} } équivaut successivement à :
un+1un=6×7n+16×7n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\cancel{6}\times7^{n+1} }{\cancel{6}\times7^{n} }
un+1un=7n+17n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{7^{n+1} }{7^{n} }
Soit xx un réel non nul.
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
un+1un=7n+1−n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =7^{n+1-n}
un+1un=7\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =7
Il en résulte que la suite un=6×7nu_{n}=6\times7^n est une suite géométrique de raison 77.
Lorsque la suite explicite est de la forme a×qna\times q^{n} , alors la suite est géométrique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} }.