Devoir n°1 : suites géométriques - Exercice 1

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Exercice 1 – Automatismes (5 points). Les questions sont indépendantes.
Barème : 11 point par question.
Question 1

(un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique de premier terme u0=5u_{0}=5 et de raison q=3q=3. Calculer u3u_{3}.

Correction
un=u0×qnu_{n}=u_{0}\times q^{n}, donc u3=5×33=5×27u_{3}=5\times3^{3}=5\times27, d'où
u3=135u_{3}=135
Question 2

La suite (vn)\left(v_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par vn=7×0,6nv_{n}=7\times0,6^{n}. Est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

Correction
(vn)\left(v_{n}\right) est géométrique de premier terme v0=7v_{0}=7 et de raison q=0,6q=0,6. Comme 0<q<10\lt q\lt 1 et v0=7>0v_{0}=7>0 :
la suite (vn)\left(v_{n}\right) est décroissante.
Question 3

Quel est le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 4 %4\,\% ? à une baisse de 12 %12\,\% ?

Correction
Hausse de 4 %4\,\% : 1+4100=1,041+\frac{4}{100}=1,04. Baisse de 12 %12\,\% : 1−12100=0,881-\frac{12}{100}=0,88.
1,041,04
et
0,880,88
Question 4

(wn)\left(w_{n}\right) est une suite géométrique à termes strictement positifs, avec w1=2w_{1}=2 et w3=18w_{3}=18. Déterminer sa raison qq, puis w0w_{0}.

Correction
w3=w1×q2w_{3}=w_{1}\times q^{2}, donc q2=182=9q^{2}=\frac{18}{2}=9. Les termes sont strictement positifs, donc q>0q>0 :
q=3q=3

w1=w0×qw_{1}=w_{0}\times q, donc w0=w1qw_{0}=\frac{w_{1}}{q}, d'où
w0=23w_{0}=\frac{2}{3}
Question 5

Les nombres 33 ; 66 ; 1010 ; 1515 peuvent-ils être les premiers termes d'une suite géométrique ? Justifier.

Correction
63=2\frac{6}{3}=2 et 106≈1,67\frac{10}{6}\approx1,67 : deux quotients consécutifs ne sont pas égaux.
Non, ces nombres ne sont pas les termes d'une suite géométrique.

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