Centres étrangers – 8 juin 2026 - Exercice 1

25 min
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En 20252025, dans une ville, le club de basketball comptait 900900 adhérents.
On estime que chaque année, le club perd 1010 adhérents.
On note BnB_n le nombre d'adhérents au club de basket l'année 2025+n2025+n.
Question 1

Calculer B1B_1 et interpréter le résultat.

Correction
BnB_{\red{n}} représente le nombre d'adhérents au club de basket l'année (2025+n)\left(2025+\red{n}\right). On a donc B0=900B_0=900.
Chaque année, le club perd 1010 adhérents. Il vient alors que :
B1=B0−10B_1=B_0-10
B1=900−10B_1=900-10
d'où :
B1=890B_1=890

2025+1=20262025+\red{1}=2026 : en 20262026, le club de basket compte 890890 adhérents.
Question 2

Exprimer BnB_n en fonction de nn.

Correction
Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante qui correspond à la raison ici r=−10{\color{blue}{r=-10}} .
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(n−p)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Chaque année on retire 1010 adhérents : pour tout entier naturel nn, Bn+1=Bn−10B_{n+1}=B_n-10. La suite (Bn)\left(B_n\right) est donc une suite arithmétique de premier terme B0=900B_0=900 et de raison r=−10r=-10.
    Dans notre cas, le premier terme ici vaut B0=900B_0=900 et la raison r=−10r=-10.
    Il en résulte donc que : Bn=900+n×(−10)B_n=900+n\times\left(-10\right)
    Autrement dit :
    Bn=900−10nB_n=900-10n
    Question 3

    Justifier que le club aura perdu plus de 10 %10\,\% de ses adhérents entre 20252025 et 20352035.

    Correction
    2035=2025+102035=2025+\red{10} . Il nous faut donc calculer B10B_{\red{10}} :
    B10=900−10×10B_{10}=900-10\times 10
    B10=800B_{10}=800
    Entre 20252025 et 20352035, le club perd donc 900−800=100900-800=100 adhérents.
    Or 10 %10\,\% de 900900 adhérents représentent : 900×10100=90900\times\dfrac{10}{100}=90 adhérents.
    Ainsi :
    100>90100\gt 90

    Le club aura perdu plus de 10 %10\,\% de ses adhérents entre 20252025 et 20352035 (en fait 100900≈11 %\dfrac{100}{900}\approx 11\,\%).
    Question 4
    Dans cette même ville en 20252025, le club de handball comptait 200200 adhérents.
    Pour les années suivantes, on estime que le nombre d'adhérents au club de handball peut être représenté par le graphique suivant :

    Par lecture graphique, estimer, avec la précision permise par le graphique, le nombre d'adhérents au club de handball en 20282028.

    Correction
    2028=2025+32028=2025+\red{3} : on lit l'ordonnée du point d'abscisse 3\red{3}.
    En 20282028, le club de handball compte environ 345345 adhérents.
    Le modèle de la question suivante donne H3=200×1,23=345,6H_3=200\times 1{,}2^{3}=345{,}6.
    Question 5

    On modélise le nombre d'adhérents au club de handball l'année 2025+n2025+n par HnH_n et on admet que, pour tout entier naturel nn, Hn+1=1,2×HnH_{n+1}=1{,}2\times H_n. Quelle est la nature de la suite (Hn)\left(H_n\right) ? Préciser son premier terme et sa raison.

    Correction
    Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,2 .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Pour tout entier naturel nn :
    Hn+1=Hn×1,2H_{n+1}=H_n\times 1{,}2

    La suite (Hn)\left(H_n\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est H0=200H_0=200 (le nombre d'adhérents en 20252025) et sa raison est q=1,2q=1{,}2.
    Multiplier par 1,2=1+201001{,}2=1+\dfrac{20}{100}, c'est augmenter de 20 %20\,\% chaque année.
    Question 6

    À partir de quelle année le nombre d'adhérents au club de handball sera supérieur au nombre d'adhérents au club de basketball ? Justifier la réponse.

    Correction
    On cherche le premier rang nn tel que Hn>BnH_n\gt B_n. On compare, année après année, le nombre d'adhérents des deux clubs : Bn=900−10nB_n=900-10n se calcule, et le graphique donne HnH_n.
  • Pour n=7n=7 : B7=900−10×7=830B_7=900-10\times 7=830 et H7≈717H_7\approx 717 : H7<B7H_7\lt B_7.
  • Pour n=8n=8 : B8=900−10×8=820B_8=900-10\times 8=820 et H8≈860H_8\approx 860 : H8>B8H_8\gt B_8.
    • Avec le modèle : H7=200×1,27≈716,6H_7=200\times 1{,}2^{7}\approx 716{,}6 et H8=200×1,28≈860,0H_8=200\times 1{,}2^{8}\approx 860{,}0.
    Le nombre d'adhérents au handball dépasse celui du basket à partir du rang n=8\red{n=8}, c'est-à-dire de l'année 2025+8=20332025+\red{8}=2033 .
    À partir de 20332033, le club de handball aura plus d'adhérents que le club de basketball.

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