Asie – 15 juin 2026 - Exercice 1

30 min
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Vous venez de commencer une nouvelle partie d'un jeu vidéo au cours de laquelle votre personnage gagne de l'expérience et obtient de la potion magique.
Question 1
Partie A – Gain d'expérience
Quand votre personnage passe d'un niveau au niveau supérieur, il gagne 8080 points d'expérience.
Quand vous commencez, votre personnage est au niveau 00 et a 2020 points d'expérience.

Combien votre personnage a-t-il de points d'expérience quand il est au niveau 11 ?

Correction
Notons unu_n le nombre de points d'expérience du personnage quand il est au niveau nn. On a u0=20u_0=20.
En passant du niveau 00 au niveau 11, le personnage gagne 8080 points d'expérience. Il vient alors que :
u1=u0+80u_1=u_0+80
u1=20+80u_1=20+80
d'où :
u1=100u_1=100

Au niveau 11, le personnage a 100100 points d'expérience.
Question 2

Montrer que, quand votre personnage est au niveau 1010, il a plus de 800800 points d'expérience.

Correction
Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante qui correspond à la raison ici r=80{\color{blue}{r=80}} .
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(n−p)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • À chaque niveau, on ajoute 8080 points : pour tout entier naturel nn, un+1=un+80u_{n+1}=u_n+80. La suite (un)\left(u_n\right) est donc arithmétique de premier terme u0=20u_0=20 et de raison r=80r=80.
    Il en résulte donc que :
    un=20+80nu_n=20+80n

    Au niveau 1010 :
    u10=20+80×10u_{10}=20+80\times 10
    u10=820u_{10}=820
    Ainsi :
    u10=820>800u_{10}=820\gt 800

    Au niveau 1010, le personnage a bien plus de 800800 points d'expérience.
    Question 3

    À quel niveau votre personnage est-il s'il a 2  0202\;020 points d'expérience ?
    Justifier par un calcul.

    Correction
    Il nous faut trouver l'entier naturel nn tel que un=2  020u_n=2\;020.
    D'après la question 2, un=20+80nu_n=20+80n. Il vient alors :
    20+80n=2  02020+80n=2\;020
    80n=2  020−2080n=2\;020-20
    80n=2  00080n=2\;000
    n=2  00080n=\dfrac{2\;000}{80}
    n=25n=25
    Le personnage est au niveau 2525.
    Vérification : u25=20+80×25=20+2  000=2  020u_{25}=20+80\times 25=20+2\;000=2\;020.
    Question 4
    Partie B – Gain d'énergie magique
    À la fin de chaque niveau, votre personnage doit neutraliser un monstre. Cela lui rapporte de l'énergie sous forme de potion magique. Au niveau 00, le monstre neutralisé permet de récupérer 1010 centilitres (cl) de potion magique.
    À chaque niveau, cette quantité augmente de 20 %20\,\% par rapport au niveau précédent.
    Arrondir les résultats, si nécessaire, au centilitre près.
    Soit nn un entier naturel. On note vnv_n la quantité de potion magique (en cl) récupérée pour le monstre neutralisé au niveau nn.

    Expliquer pourquoi v0=10v_0=10.

    Correction
    vnv_{\red{n}} représente la quantité de potion magique récupérée pour le monstre neutralisé au niveau n\red{n}.
    Pour n=0\red{n=0} : v0v_{\red{0}} est la quantité récupérée au niveau 00, et l'énoncé indique qu'au niveau 00 le monstre neutralisé permet de récupérer 1010 cl de potion magique.
    Ainsi :
    v0=10v_0=10
    Question 5

    Justifier que vn+1=1,2vnv_{n+1}=1{,}2v_n pour tout entier naturel nn.

    Correction
    Dire que la quantité augmente de 20 %20\,\% par rapport au niveau précédent revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} la quantité de potion par 1+20100=1,21+\dfrac{20}{100}=1{,}2 à chaque niveau.
    vnv_n est la quantité récupérée au niveau nn et vn+1v_{n+1} celle du niveau suivant.
    Il en résulte donc que, pour tout entier naturel nn :
    vn+1=1,2vnv_{n+1}=1{,}2v_n
    Question 6

    En déduire la nature de la suite (vn)\left(v_n\right) et préciser sa raison.

    Correction
    Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,2 .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • D'après la question précédente, pour tout entier naturel nn : vn+1=vn×1,2v_{n+1}=v_n\times 1{,}2.
    La suite (vn)\left(v_n\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est v0=10v_0=10 et sa raison est q=1,2q=1{,}2.
    Question 7

    Exprimer vnv_n en fonction de nn, pour tout entier naturel nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn ou encore le terme général de la suite unu_{n} est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p} : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut v0=10v_0=10 et la raison vaut q=1,2q=1{,}2.
    Il en résulte donc que :
    vn=10×1,2nv_n=10\times 1{,}2^{n}
    Question 8

    Montrer que v5≈25v_5\approx 25.

    Correction
    D'après la question précédente :
    v5=10×1,25v_5=10\times 1{,}2^{5}
    D'après l'aide aux calculs, 1,25=2,488  321{,}2^{5}=2{,}488\;32. Il vient alors que :
    v5=10×2,488  32v_5=10\times 2{,}488\;32
    v5=24,883  2v_5=24{,}883\;2
    Ainsi :
    v5≈25v_5\approx 25

    arrondi au centilitre près.
    Question 9

    Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    Correction
    v5v_{\red{5}} est la quantité de potion magique récupérée pour le monstre neutralisé au niveau 5\red{5}.
    Au niveau 55, le monstre neutralisé rapporte environ 2525 cl de potion magique.
    Question 10

    À partir de quel niveau la quantité de potion magique récupérée par monstre neutralisé dépasse-t-elle 0,60{,}6 litre ?

    Correction
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} strictement positif alors :
    • Si 0<q<10\lt q\lt 1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q>1q\gt 1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
    On convertit : 0,60{,}6 L =60=60 cl. On cherche le premier niveau nn tel que vn>60v_n\gt 60.
    Ici q=1,2>1q=1{,}2\gt 1 et v0=10>0v_0=10\gt 0 : la suite (vn)\left(v_n\right) est croissante.
    10×1,2n>6010\times 1{,}2^{n}\gt 60 équivaut successivement à :
    1,2n>60101{,}2^{n}\gt \dfrac{60}{10}
    1,2n>61{,}2^{n}\gt 6
    D'après l'aide aux calculs :
    1,29≈5,16<61{,}2^{9}\approx 5{,}16\lt 6 et 1,210≈6,19>61{,}2^{10}\approx 6{,}19\gt 6 : le premier rang qui convient est n=10\red{n=10}.
    Vérification : v9≈51,6v_9\approx 51{,}6 cl et v10≈61,9v_{10}\approx 61{,}9 cl.
    La quantité de potion magique dépasse 0,60{,}6 litre à partir du niveau 1010.

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