Antilles-Guyane – 12 juin 2026 - Exercice 1

30 min
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On compte le nombre d'arbres de deux forêts où de nouveaux arbres sont plantés chaque année.
Question 1
Partie A : Première forêt
Dans cette forêt, au 1er janvier 20102010, on dénombrait 1  2001\;200 arbres.
On suppose que le nombre d'arbres augmente de 100100 par an.
On modélise cette évolution par une suite (un)\left(u_n\right), où unu_n représente le nombre d'arbres dans cette forêt au 1er janvier de l'année 2010+n2010+n pour tout entier naturel nn.
Ainsi, on a u0=1  200u_0=1\;200.

Calculer u1u_1 et u2u_2.
Interpréter u2u_2 dans le contexte de l'exercice.

Correction
unu_{\red{n}} représente le nombre d'arbres dans cette forêt au 1er janvier de l'année (2010+n)\left(2010+\red{n}\right).
Le nombre d'arbres augmente de 100100 par an. Il vient alors que :
  • Calcul de u1u_{1} .
    • u1=u0+100u_1=u_0+100
    u1=1  200+100u_1=1\;200+100
    d'où :
    u1=1  300u_1=1\;300
  • Calcul de u2u_{2} .
    • u2=u1+100u_2=u_1+100
    u2=1  300+100u_2=1\;300+100
    d'où :
    u2=1  400u_2=1\;400

    2010+2=20122010+\red{2}=2012 : selon ce modèle, au 1er janvier 20122012, la première forêt compte 1  4001\;400 arbres.
    Question 2

    Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_n pour tout entier naturel nn.
    En déduire la nature de la suite (un)\left(u_n\right) et préciser sa raison rr.

    Correction
    Le nombre d'arbres augmente de 100100 par an : on obtient un+1u_{n+1} en ajoutant 100100 à unu_n.
    Ainsi, pour tout entier naturel nn :
    un+1=un+100u_{n+1}=u_n+100
    Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante qui correspond à la raison ici r=100{\color{blue}{r=100}} .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n}+r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • La suite (un)\left(u_n\right) est donc une suite arithmétique. Son premier terme est u0=1  200u_0=1\;200 et sa raison est r=100r=100.
    Question 3

    Exprimer unu_n en fonction de nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(n−p)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=1  200u_0=1\;200 et la raison r=100r=100.
    Il en résulte donc que :
    un=1  200+100nu_n=1\;200+100n
    Vérification : pour n=2n=2, on trouve u2=1  200+100×2=1  400u_2=1\;200+100\times 2=1\;400 : on retrouve bien le résultat de la question 1.
    Question 4

    D'après ce modèle, à partir de quelle année la forêt comptera-t-elle plus de 2  9502\;950 arbres ?

    Correction
    Pour répondre à cette question, il nous faut résoudre une inéquation : un>2  950u_n\gt 2\;950
    D'après la question 3, un=1  200+100nu_n=1\;200+100n. Il vient alors :
    1  200+100n>2  9501\;200+100n\gt 2\;950
    100n>2  950−1  200100n\gt 2\;950-1\;200
    100n>1  750100n\gt 1\;750
    n>1  750100n\gt \dfrac{1\;750}{100}
    n>17,5n\gt 17{,}5
    Comme nn est un entier naturel, le plus petit entier qui convient est n=18\red{n=18}.
    Vérification : u17=1  200+100×17=2  900u_{17}=1\;200+100\times 17=2\;900 et u18=1  200+100×18=3  000u_{18}=1\;200+100\times 18=3\;000.
    Or unu_{\red{n}} représente le nombre d'arbres au 1er janvier de l'année (2010+n)\left(2010+\red{n}\right). D'où 2010+18=20282010+\red{18}=2028 .
    D'après ce modèle, la forêt comptera plus de 2  9502\;950 arbres à partir de l'année 20282028.
    Question 5
    Partie B : Seconde forêt
    Dans cette forêt, au 1er janvier 20102010, on dénombrait 1  0001\;000 arbres.
    On suppose que le nombre d'arbres augmente de 5 %5\,\% par an.
    On modélise cette évolution par une suite (vn)\left(v_n\right), où vnv_n représente le nombre d'arbres dans cette forêt au 1er janvier de l'année 2010+n2010+n pour tout entier naturel nn.
    Ainsi, on a v0=1  000v_0=1\;000.

    Calculer le nombre d'arbres au 1er janvier 20112011.

    Correction
    Dire que le nombre d'arbres augmente de 5 %5\,\% par an revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} le nombre d'arbres par 1+5100=1,051+\dfrac{5}{100}=1{,}05 chaque année.
    2011=2010+12011=2010+\red{1} . Il nous faut donc calculer v1v_{\red{1}}.
    Ainsi :
    v1=1,05×v0v_1=1{,}05\times v_0
    v1=1,05×1  000v_1=1{,}05\times 1\;000
    Ainsi :
    v1=1  050v_1=1\;050

    Au 1er janvier 20112011, la seconde forêt compte 1  0501\;050 arbres.
    Question 6

    Déterminer la nature de la suite (vn)\left(v_n\right) et préciser sa raison rr.

    Correction
    Dire que le nombre d'arbres augmente de 5 %5\,\% par an revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} le nombre d'arbres par 1+5100=1,051+\dfrac{5}{100}=1{,}05 chaque année.
    Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,05 .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Ainsi, pour tout entier naturel nn :
    vn+1=1,05×vnv_{n+1}=1{,}05\times v_n

    La suite (vn)\left(v_n\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est v0=1  000v_0=1\;000 et sa raison est 1,051{,}05.
    (L'énoncé note la raison rr ; dans le cours, la raison d'une suite géométrique est notée qq.)
    Question 7

    D'après ce modèle, on estime qu'au 1er janvier 20302030, il y aura environ 2  6532\;653 arbres sur la parcelle.
    Quel terme de la suite a-t-on calculé ?
    Quel a été le calcul effectué ?

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn ou encore le terme général de la suite unu_{n} est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p} : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut v0=1  000v_0=1\;000 et la raison vaut 1,051{,}05.
    Il en résulte donc que :
    vn=1  000×1,05nv_n=1\;000\times 1{,}05^{n}

    vnv_{\red{n}} représente le nombre d'arbres au 1er janvier de l'année (2010+n)\left(2010+\red{n}\right).
    2030=2010+202030=2010+\red{20} . On a donc calculé le terme v20v_{\red{20}} :
    v20=1  000×1,0520v_{20}=1\;000\times 1{,}05^{20}

    En effet, 1  000×1,0520≈2  653,31\;000\times 1{,}05^{20}\approx 2\;653{,}3 : on retrouve environ 2  6532\;653 arbres.
    Question 8
    Partie C : Comparaison des évolutions
    Grâce à l'extrait de tableur ci-dessous, on visualise le nombre d'arbres arrondi à l'unité dans les deux forêts.

    Interpréter dans le contexte de l'exercice les résultats de la dernière colonne.

    Correction
    La dernière colonne correspond au rang n=29\red{n=29}, c'est-à-dire à l'année 2010+29=20392010+\red{29}=2039 .
    Au 1er janvier 20392039, la première forêt compte u29=4  100u_{29}=4\;100 arbres et la seconde environ v29≈4  116v_{29}\approx 4\;116 arbres.
    L'année précédente, la première forêt comptait plus d'arbres que la seconde : u28=4  000u_{28}=4\;000 et v28≈3  920v_{28}\approx 3\;920.
    En 20392039, la seconde forêt compte, pour la première fois, plus d'arbres que la première.
    Une augmentation de 5 %5\,\% par an (suite géométrique) finit toujours par dépasser une augmentation de 100100 arbres par an (suite arithmétique), même en partant de moins d'arbres.

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