Amérique du Nord – 1er juin 2026 - Exercice 1

25 min
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En juin 20192019, une population de 200200 marmottes a été introduite dans un massif montagneux où cette espèce était absente. Un zoologue en charge de ce projet souhaite modéliser l'évolution de cette population en fonction du temps.
Il constate qu'entre juin 20192019 et juin 20202020, la population a augmenté de 2020 individus.
Question 1
Partie A : Premier modèle
Le zoologue propose un premier modèle où la population augmente de 2020 individus tous les ans.
On note alors unu_n la population de marmottes que l'on peut estimer à l'aide de ce modèle en juin (2019+n)\left(2019+n\right). On a donc u0=200u_0=200.

Quelle est la nature de la suite (un)\left(u_n\right) ? Préciser sa raison.

Correction
Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante qui correspond à la raison ici r=20{\color{blue}{r=20}} .
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n}+r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • La population augmente de 2020 individus tous les ans : on obtient un+1u_{n+1} en ajoutant 2020 à unu_n.
    Ainsi, pour tout entier naturel nn :
    un+1=un+20u_{n+1}=u_n+20

    La suite (un)\left(u_n\right) est donc une suite arithmétique. Son premier terme est u0=200u_0=200 et sa raison est r=20r=20.
    Question 2

    À combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 20252025 ?

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(n−p)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=200u_0=200 et la raison r=20r=20.
    Il en résulte donc que :
    un=200+20nu_n=200+20n

    unu_{\red{n}} représente la population de marmottes en juin (2019+n)\left(2019+\red{n}\right).
    2025=2019+62025=2019+\red{6} . Il nous faut donc calculer u6u_{\red{6}}. Il vient alors que :
    u6=200+20×6u_6=200+20\times 6
    Ainsi :
    u6=320u_6=320

    Selon ce premier modèle, on peut estimer à 320320 le nombre de marmottes en juin 20252025.
    Question 3

    En juin 20252025, un nouveau décompte a permis de savoir que la population était de 355355 individus.
    Ce premier modèle semble-t-il être adapté à la situation ?

    Correction
    D'après la question 2, le premier modèle prévoit 320320 marmottes en juin 20252025, alors que le décompte en donne 355355.
    L'écart est de 355−320=35355-320=35 individus, soit environ 10 %10\,\% de la population réelle.
    Ce premier modèle ne semble pas adapté à la situation.

    Il sous-estime nettement la population : en réalité, la population augmente de plus en plus vite.
    Question 4
    Partie B : Second modèle

    On rappelle que la population de marmottes était de 200200 individus en juin 20192019 et de 220220 individus en juin 20202020.
    De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté entre ces deux dates ?

    Correction
    Le taux d'évolution tt entre une valeur de départ VDV_{D} et une valeur d'arrivée VAV_{A} est : t=VA−VDVDt=\dfrac{V_{A}-V_{D}}{V_{D}} .
    Ici, la valeur de départ est VD=200V_{D}=200 (juin 20192019) et la valeur d'arrivée est VA=220V_{A}=220 (juin 20202020). Il vient alors que :
    t=220−200200t=\dfrac{220-200}{200}
    t=20200t=\dfrac{20}{200}
    t=0,1t=0{,}1
    Ainsi :
    La population a augmenté de 10 %10\,\% entre juin 20192019 et juin 20202020.
    Question 5
    Le zoologue propose un second modèle où la population augmente de ce même pourcentage tous les ans. Dans ce modèle, on représente la population de marmottes en juin (2019+n)\left(2019+n\right) par vnv_n tel que, pour tout entier naturel nn, vn+1=1,1×vnv_{n+1}=1{,}1\times v_n.

    Quelle est la nature de la suite (vn)\left(v_n\right) ? Préciser sa raison et son premier terme.

    Correction
    Dire que la population augmente de 10 %10\,\% tous les ans revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} la population par 1+10100=1,11+\dfrac{10}{100}=1{,}1 chaque année.
    Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,1 .
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • C'est bien la relation de l'énoncé : pour tout entier naturel nn,
    vn+1=1,1×vnv_{n+1}=1{,}1\times v_n

    La suite (vn)\left(v_n\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est v0=200v_0=200 (la population en juin 20192019) et sa raison est q=1,1q=1{,}1.
    Question 6

    Exprimer vnv_n en fonction de nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn ou encore le terme général de la suite unu_{n} est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p} : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut v0=200v_0=200 et q=1,1q=1{,}1.
    Il en résulte donc que :
    vn=200×1,1nv_n=200\times 1{,}1^{n}
    Question 7
    On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite (vn)\left(v_n\right).

    Selon ce nouveau modèle, à combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 20252025 ?

    Correction
    vnv_{\red{n}} représente la population de marmottes en juin (2019+n)\left(2019+\red{n}\right).
    2025=2019+62025=2019+\red{6} . Il nous faut donc calculer v6v_{\red{6}}. Il vient alors que :
    v6=200×1,16v_6=200\times 1{,}1^{6}
    Ainsi :
    v6≈354v_6\approx 354

    arrondi à l'unité car 200×1,16≈354,3200\times 1{,}1^{6}\approx 354{,}3 . On retrouve la valeur de la cellule H2\text{H2} du tableur.
    Selon ce second modèle, on peut estimer à environ 354354 le nombre de marmottes en juin 20252025.
    Question 8

    En utilisant la donnée fournie dans la question 3 de la partie A, ce nouveau modèle semble-t-il pertinent ?

    Correction
    En juin 20252025, le décompte a donné 355355 marmottes. Le second modèle en prévoit environ 354354 : l'écart n'est que de 11 individu.
    Ce second modèle semble pertinent.

    Il est bien plus proche de la réalité que le premier modèle, qui prévoyait 320320 marmottes.
    Question 9

    Au mois de juin de quelle année la population de marmottes de ce massif montagneux aura-t-elle dépassé 400400 individus, selon ce modèle ?

    Correction
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} strictement positif alors :
    • Si 0<q<10\lt q\lt 1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q>1q\gt 1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
    Ici q=1,1>1q=1{,}1\gt 1 et v0=200>0v_0=200\gt 0 : la suite (vn)\left(v_n\right) est croissante. Nous cherchons le premier rang nn pour lequel vn>400v_n\gt 400.
    D'après le tableur :
    v7≈390<400v_7\approx 390\lt 400 et v8≈429>400v_8\approx 429\gt 400 : la population dépasse 400400 individus à partir du rang n=8\red{n=8}.
    Or vnv_{\red{n}} représente la population de marmottes en juin (2019+n)\left(2019+\red{n}\right). D'où 2019+8=20272019+\red{8}=2027 .
    Selon ce modèle, la population aura dépassé 400400 individus en juin 20272027.

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