Problèmes de seuil : inéquation, tableur, boucle « Tant que » - Exercice 1

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Une citerne contient 1 2001\,200 litres d'eau de pluie. Pour arroser un potager, on utilise 7575 litres chaque jour, et il ne pleut pas.
On note unu_{n} le volume d'eau, en litres, restant dans la citerne au bout de nn jours ; ainsi u0=1 200u_{0}=1\,200.
Question 1

Justifier que (un)\left(u_{n}\right) est une suite arithmétique, puis exprimer unu_{n} en fonction de nn.

Correction
Chaque jour, on retire toujours 7575 litres : pour tout entier naturel nn, un+1=un−75u_{n+1}=u_{n}-75.
La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc arithmétique de raison r=−75r=-75 et de premier terme u0=1 200u_{0}=1\,200.
un=u0+n×ru_{n}=u_{0}+n\times r, d'où :
un=1 200−75nu_{n}=1\,200-75n
Question 2

Au bout de combien de jours restera-t-il strictement moins de 300300 litres dans la citerne ?

Correction
Pour déterminer à partir de quel rang nn les termes d'une suite dépassent (ou passent sous) une valeur donnée, on peut :
  • résoudre une inéquation avec l'expression de unu_{n} en fonction de nn, puis prendre le premier entier qui convient ;
  • utiliser un tableau de valeurs (calculatrice ou tableur) et repérer le premier rang qui convient ;
  • utiliser une boucle « Tant que », qui calcule les termes un par un tant que la valeur n'est pas atteinte.
On revient ensuite au contexte (jour, mois, année…) et on vérifie avec deux termes consécutifs.
Il nous faut résoudre l'inéquation un<300u_{n}< 300 :
1 200−75n<3001\,200-75n< 300 équivaut successivement à :
−75n<300−1 200-75n< 300-1\,200
−75n<−900-75n< -900
n>−900−75n>\frac{-900}{-75}     \;\; Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par −75\red{-75} qui est un nombre négatif.
n>12n>12
L'inégalité est stricte : n=12n=12 ne convient pas. Le plus petit entier qui convient est n=13\red{n=13}.
Vérification : u12=1 200−75×12=300u_{12}=1\,200-75\times12=300 (pas strictement moins de 300300) et u13=1 200−75×13=225u_{13}=1\,200-75\times13=225.
Il restera strictement moins de 300300 litres au bout de 1313 jours.

Question 3

Au bout de combien de jours la citerne sera-t-elle vide ?

Correction
La citerne est vide lorsque un=0u_{n}=0 :
1 200−75n=01\,200-75n=0 équivaut successivement à :
−75n=−1 200-75n=-1\,200
n=−1 200−75n=\frac{-1\,200}{-75}
n=16n=16

La citerne sera vide au bout de 1616 jours.

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