Modéliser des situations par une suite arithmétique - Exercice 1

10 min

On construit des motifs en croix avec des carreaux : le motif

1

compte

5

carreaux et, pour passer d'un motif au suivant, on ajoute un carreau au bout de chacune des quatre branches.

On note

u_{n}

le nombre de carreaux du motif

n

; ainsi

u_{1}=5

Question 1

Combien de carreaux compte le motif $4$ ?

Correction

On ajoute

4

carreaux à chaque nouveau motif :

u_{1}=5

;

u_{2}=9

;

u_{3}=13

, et donc

u_{4}=13+4=17

Le motif

4

compte

17

carreaux.

Question 2

Justifier que $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Correction

Pour modéliser une situation par une suite arithmétique :

on précise ce que représentent $n$ (numéro du motif, nombre d'années, de mois…) et $u_{n}$ ;
on vérifie qu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ : c'est la raison ;
on écrit $u_{n}=u_{0}+n\times r$ , ou $u_{n}=u_{1}+\left(n-1\right)\times r$ si la suite commence au rang $1$ , puis on répond en revenant au contexte.

Pour passer d'un motif au suivant, on ajoute toujours

4

carreaux : pour tout entier

n\ge1

u_{n+1}=u_{n}+4

.
La suite

\left(u_{n}\right)

est arithmétique de raison

r=4

et de premier terme

u_{1}=5

u_{n}=u_{1}+\left(n-1\right)\times r

équivaut successivement à :

u_{n}=5+\left(n-1\right)\times4

u_{n}=5+4n-4

u_{n}=4n+1

Question 3

Combien de carreaux faut-il pour construire le motif $25$ ?

Correction

u_{25}=4\times25+1

Ainsi :

u_{25}=101

Il faut

101

carreaux pour le motif

25

Question 4

Peut-on construire un motif de cette suite avec exactement $150$ carreaux ? Avec exactement $201$ carreaux ?

Correction

$4n+1=150$ équivaut à $4n=149$ , soit $n=37,25$ : ce n'est pas un entier, aucun motif ne compte exactement $150$ carreaux ;
$4n+1=201$ équivaut à $4n=200$ , soit $n=50$ : le motif $50$ compte exactement $201$ carreaux.

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Modéliser des situations par une suite arithmétique - Exercice 1

Combien de carreaux compte le motif 444 ?

Justifier que (un)\left(u_{n}\right)(un​) est une suite arithmétique, puis exprimer unu_{n}un​ en fonction de nnn.

Combien de carreaux faut-il pour construire le motif 252525 ?

Peut-on construire un motif de cette suite avec exactement 150150150 carreaux ? Avec exactement 201201201 carreaux ?

Combien de carreaux compte le motif $4$ ?

Justifier que $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Combien de carreaux faut-il pour construire le motif $25$ ?

Peut-on construire un motif de cette suite avec exactement $150$ carreaux ? Avec exactement $201$ carreaux ?