Métropole – 11 septembre 2026 - Exercice 1

$$u_{\red{n}}$$ représente la valeur du téléphone, en euros, l'année $$\left(2025+\red{n}\right)$$.
La valeur du téléphone diminue de $$100$$ € chaque année. Il vient alors que :

Calcul de $$u_{1}$$ .

$$u_1=u_0-100$$
$$u_1=1\;060-100$$
d'où :

Calcul de $$u_{2}$$ .

$$u_2=u_1-100$$
$$u_2=960-100$$
d'où :
$$2025+\red{2}=2027$$ : en $$2027$$, le téléphone vaut $$860$$ €.

$$u_n$$ est la valeur du téléphone l'année $$\left(2025+n\right)$$ et $$u_{n+1}$$ celle de l'année suivante.
La valeur diminue de $$100$$ € chaque année : on obtient $$u_{n+1}$$ en retirant $$100$$ à $$u_n$$.
Ainsi, pour tout entier naturel $$n$$ :

Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante qui correspond à la raison ici $${\color{blue}{r=-100}}$$ .
D'après la question 2, pour tout entier naturel $$n$$ : $$u_{n+1}=u_n-100$$, que l'on peut écrire $$u_{n+1}=u_n+\left(-100\right)$$.
La suite $$\left(u_n\right)$$ est donc une suite arithmétique. Son premier terme est $$u_0=1\;060$$ et sa raison est $$r=-100$$.

Dans notre cas, le premier terme ici vaut $$u_0=1\;060$$ et la raison $$r=-100$$.
Il en résulte donc que : $$u_{n}=1\;060+n\times\left(-100\right)$$
Autrement dit : Vérification : pour $$n=2$$, on trouve $$u_2=1\;060-100\times 2=860$$ : on retrouve bien le résultat de la question 1.

La moitié de la valeur initiale est $$\dfrac{1\;060}{2}=530$$ €. Le téléphone a perdu plus de la moitié de sa valeur lorsqu'il vaut moins de $$530$$ € : il nous faut résoudre l'inéquation $$u_n\lt 530$$.
D'après la question 4, $$u_n=1\;060-100n$$. Il vient alors :
$$1\;060-100n\lt 530$$
$$-100n\lt 530-1\;060$$
$$-100n\lt -530$$
$$n\gt \dfrac{-530}{-100}$$ (on divise par $$-100$$ qui est négatif : on change le sens de l'inégalité)
$$n\gt 5{,}3$$
Comme $$n$$ est un entier naturel, le plus petit entier qui convient est $$\red{n=6}$$.
Vérification : $$u_{5}=1\;060-100\times 5=560$$ et $$u_{6}=1\;060-100\times 6=460$$.Or $$u_{\red{n}}$$ représente la valeur du téléphone l'année $$\left(2025+\red{n}\right)$$. D'où $$2025+\red{6}=2031$$ .