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Justifier qu'une suite est arithmétique - Exercice 1

5 min
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Question 1

La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par un=4n+1u_{n} =4n+1.
Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est arithmétique.

Correction
Si un+1−un=ru_{n+1} -u_{n} =r où rr est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique.
Dans ce cas, le réel rr sera la raison de la suite arithmétique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=4n+1u_{n} =4n+1 alors :
un+1=4(n+1)+1u_{n+1} =4\left(n+1\right)+1 équivaut successivement à :
un+1=4n+4+1u_{n+1} =4n+4+1
un+1=4n+5u_{n+1} =4n+5
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=4n+5−(4n+1)u_{n+1} -u_{n} =4n+5-\left(4n+1\right) équivaut successivement à :
un+1−un=4n+5−4n−1u_{n+1} -u_{n} =4n+5-4n-1
un+1−un=4u_{n+1} -u_{n} =4
Il en résulte que la suite un=4n+1u_{n} =4n+1 est une suite arithmétique de raison 44.
Lorsque la suite explicite est de la forme affine c'est à dire an+ban+b , alors la suite est arithmétique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n}.
Question 2

La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par un=−3n−5u_{n} =-3n-5.
Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est arithmétique.

Correction
Si un+1−un=ru_{n+1} -u_{n} =r où rr est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique.
Dans ce cas, le réel rr sera la raison de la suite arithmétique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=−3n−5u_{n} =-3n-5 alors :
un+1=−3(n+1)−5u_{n+1} =-3\left(n+1\right)-5 équivaut successivement à :
un+1=−3n−3−5u_{n+1} =-3n-3-5
un+1=−3n−8u_{n+1} =-3n-8
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=−3n−8−(−3n−5)u_{n+1} -u_{n} =-3n-8-\left(-3n-5\right) équivaut successivement à :
un+1−un=−3n−8+3n+5u_{n+1} -u_{n} =-3n-8+3n+5
un+1−un=−3u_{n+1} -u_{n} =-3
Il en résulte que la suite un=−3n−5u_{n} =-3n-5 est une suite arithmétique de raison −3-3.
Lorsque la suite explicite est de la forme affine c'est à dire an+ban+b , alors la suite est arithmétique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n}.
Question 3

La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par un=2n+6u_{n} =2n+6.
Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est arithmétique.

Correction
Si un+1−un=ru_{n+1} -u_{n} =r où rr est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique.
Dans ce cas, le réel rr sera la raison de la suite arithmétique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=2n+6u_{n} =2n+6 alors :
un+1=2(n+1)+6u_{n+1} =2\left(n+1\right)+6 équivaut successivement à :
un+1=2n+2+6u_{n+1} =2n+2+6
un+1=2n+8u_{n+1} =2n+8
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=2n+8−(2n+6)u_{n+1} -u_{n} =2n+8-\left(2n+6\right) équivaut successivement à :
un+1−un=2n+8−2n−6u_{n+1} -u_{n} =2n+8-2n-6
un+1−un=2u_{n+1} -u_{n} =2
Il en résulte que la suite un=2n+6u_{n} =2n+6 est une suite arithmétique de raison 22.
Lorsque la suite explicite est de la forme affine c'est à dire an+ban+b , alors la suite est arithmétique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n}.
Question 4

La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par un=−7n−3u_{n} =-7n-3.
Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est arithmétique.

Correction
Si un+1−un=ru_{n+1} -u_{n} =r où rr est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique.
Dans ce cas, le réel rr sera la raison de la suite arithmétique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=−7n−3u_{n} =-7n-3 alors :
un+1=−7(n+1)−3u_{n+1} =-7\left(n+1\right)-3 équivaut successivement à :
un+1=−7n−7−3u_{n+1} =-7n-7-3
un+1=−7n−10u_{n+1} =-7n-10
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=−7n−10−(−7n−3)u_{n+1} -u_{n} =-7n-10-\left(-7n-3\right) équivaut successivement à :
un+1−un=−7n−10+7n+3u_{n+1} -u_{n} =-7n-10+7n+3
un+1−un=−7u_{n+1} -u_{n} =-7
Il en résulte que la suite un=−7n−3u_{n} =-7n-3 est une suite arithmétique de raison −7-7.
Lorsque la suite explicite est de la forme affine c'est à dire an+ban+b , alors la suite est arithmétique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n}.

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