Devoir n°1 : suites arithmétiques - Exercice 1

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Exercice 1 – Automatismes (6 points). Les questions sont indépendantes.
Question 1

La suite (un)\left(u_{n}\right) est arithmétique de premier terme u0=4u_{0}=4 et de raison r=−3r=-3. Calculer u1u_{1}, u2u_{2} et u10u_{10}.

Correction
u1=u0+r=4−3=1u_{1}=u_{0}+r=4-3=1 et u2=u1+r=1−3=−2u_{2}=u_{1}+r=1-3=-2.
un=u0+n×ru_{n}=u_{0}+n\times r donc un=4−3nu_{n}=4-3n, et u10=4−3×10=−26u_{10}=4-3\times10=-26.
u1=1u_{1}=1 ; u2=−2u_{2}=-2 ; u10=−26u_{10}=-26
Barème : 1,5 point : 0,50,5 par terme.
Question 2

La suite (vn)\left(v_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par vn=7n−2v_{n}=7n-2. Montrer qu'elle est arithmétique ; donner sa raison et son sens de variation.

Correction
vn+1=7(n+1)−2=7n+5v_{n+1}=7\left(n+1\right)-2=7n+5, donc vn+1−vn=7n+5−(7n−2)=7v_{n+1}-v_{n}=7n+5-\left(7n-2\right)=7.
Pour tout entier naturel nn, la différence vaut 77 : elle ne dépend pas de nn.
La suite (vn)\left(v_{n}\right) est arithmétique de raison 7>07>0 : elle est strictement croissante.
Barème : 1,5 point : 11 pour le calcul de vn+1−vnv_{n+1}-v_{n}, 0,50,5 pour le sens de variation.
Question 3

La suite (wn)\left(w_{n}\right) est arithmétique, avec w3=11w_{3}=11 et w8=31w_{8}=31. Déterminer sa raison et son premier terme w0w_{0}.

Correction
Du rang 33 au rang 88, on ajoute 55 fois la raison : w8=w3+5rw_{8}=w_{3}+5r, soit 31=11+5r31=11+5r, d'où 5r=205r=20 et
r=4r=4

Puis w3=w0+3rw_{3}=w_{0}+3r, soit 11=w0+1211=w_{0}+12, d'où
w0=−1w_{0}=-1

Barème : 1,5 point : 11 pour la raison, 0,50,5 pour w0w_{0}.
Question 4

La figure ci-dessous représente les premiers termes d'une suite arithmétique (tn)\left(t_{n}\right).

Lire t0t_{0}, puis déterminer la raison de la suite.

Correction
On lit t0=6t_{0}=6 et t4=4t_{4}=4. Du rang 00 au rang 44, on ajoute 44 fois la raison : 4=6+4r4=6+4r, d'où 4r=−24r=-2 et
r=−0,5r=-0,5

Graphiquement : d'un point au suivant, on descend de 0,50,5.
Barème : 1,5 point : 0,50,5 pour la lecture, 11 pour la raison.

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