Déterminer la raison et le premier terme à partir de deux termes - Exercice 1

10 min

Dans chaque cas,

\left(u_{n}\right)

est une suite arithmétique. Déterminer sa raison

r

, son premier terme

u_{0}

, puis l'expression de

u_{n}

en fonction de

n

Question 1

$u_{3}=14$ et $u_{7}=26$ .

Correction

Soit

\left(u_{n}\right)

une suite arithmétique de raison

r

. Pour tous entiers naturels

n

p

u_{n}=u_{p}+\left(n-p\right)\times r

Pour aller du rang $p$ au rang $n$ , on avance de $n-p$ rangs : on ajoute $n-p$ fois la raison.
Si l'on connaît deux termes $u_{p}$ et $u_{n}$ (avec $n\neq p$ ), on obtient la raison : $r=\frac{u_{n}-u_{p}}{n-p}$ .
On retrouve ensuite le premier terme avec $u_{p}=u_{0}+p\times r$ .

1^ère étape : Calcul de la raison

r

.
Pour aller du rang

3

au rang

7

, on avance de

7-3=4

rangs : on ajoute

4

fois la raison.

u_{7}=u_{3}+4r

équivaut successivement à :

26=14+4r

4r=26-14

4r=12

r=\frac{12}{4}

r=3

2^ème étape : Calcul du premier terme

u_{0}

u_{3}=u_{0}+3\times r

équivaut successivement à :

14=u_{0}+3\times3

14=u_{0}+9

u_{0}=14-9

u_{0}=5

3^ème étape : Expression de

u_{n}

en fonction de

n

u_{n}=u_{0}+n\times r

, d'où :

u_{n}=5+3n

Vérification :

u_{7}=5+3\times7=26

: on retrouve bien la valeur de l'énoncé.

Question 2

$u_{2}=9$ et $u_{10}=-7$ .

Correction

Soit

\left(u_{n}\right)

une suite arithmétique de raison

r

. Pour tous entiers naturels

n

p

u_{n}=u_{p}+\left(n-p\right)\times r

Pour aller du rang $p$ au rang $n$ , on avance de $n-p$ rangs : on ajoute $n-p$ fois la raison.
Si l'on connaît deux termes $u_{p}$ et $u_{n}$ (avec $n\neq p$ ), on obtient la raison : $r=\frac{u_{n}-u_{p}}{n-p}$ .
On retrouve ensuite le premier terme avec $u_{p}=u_{0}+p\times r$ .

1^ère étape : Calcul de la raison

r

.
Pour aller du rang

2

au rang

10

, on avance de

10-2=8

rangs : on ajoute

8

fois la raison.

u_{10}=u_{2}+8r

équivaut successivement à :

-7=9+8r

8r=-7-9

8r=-16

r=\frac{-16}{8}

r=-2

2^ème étape : Calcul du premier terme

u_{0}

u_{2}=u_{0}+2\times r

équivaut successivement à :

9=u_{0}+2\times\left(-2\right)

9=u_{0}-4

u_{0}=9+4

u_{0}=13

3^ème étape : Expression de

u_{n}

en fonction de

n

u_{n}=u_{0}+n\times r

, d'où :

u_{n}=13-2n

Vérification :

u_{10}=13-2\times10=-7

: on retrouve bien la valeur de l'énoncé.

Question 3

$u_{5}=4$ et $u_{20}=10$ .

Correction

Soit

\left(u_{n}\right)

une suite arithmétique de raison

r

. Pour tous entiers naturels

n

p

u_{n}=u_{p}+\left(n-p\right)\times r

Pour aller du rang $p$ au rang $n$ , on avance de $n-p$ rangs : on ajoute $n-p$ fois la raison.
Si l'on connaît deux termes $u_{p}$ et $u_{n}$ (avec $n\neq p$ ), on obtient la raison : $r=\frac{u_{n}-u_{p}}{n-p}$ .
On retrouve ensuite le premier terme avec $u_{p}=u_{0}+p\times r$ .

1^ère étape : Calcul de la raison

r

.
Pour aller du rang

5

au rang

20

, on avance de

20-5=15

rangs : on ajoute

15

fois la raison.

u_{20}=u_{5}+15r

équivaut successivement à :

10=4+15r

15r=10-4

15r=6

r=\frac{6}{15}

r=\frac{2}{5}

r=0,4

2^ème étape : Calcul du premier terme

u_{0}

u_{5}=u_{0}+5\times r

équivaut successivement à :

4=u_{0}+5\times0,4

4=u_{0}+2

u_{0}=4-2

u_{0}=2

3^ème étape : Expression de

u_{n}

en fonction de

n

u_{n}=u_{0}+n\times r

, d'où :

u_{n}=2+0,4n

Vérification :

u_{20}=2+0,4\times20=10

: on retrouve bien la valeur de l'énoncé.

Question 4

$u_{1}=-4,5$ et $u_{4}=1,5$ .

Correction

Soit

\left(u_{n}\right)

une suite arithmétique de raison

r

. Pour tous entiers naturels

n

p

u_{n}=u_{p}+\left(n-p\right)\times r

Pour aller du rang $p$ au rang $n$ , on avance de $n-p$ rangs : on ajoute $n-p$ fois la raison.
Si l'on connaît deux termes $u_{p}$ et $u_{n}$ (avec $n\neq p$ ), on obtient la raison : $r=\frac{u_{n}-u_{p}}{n-p}$ .
On retrouve ensuite le premier terme avec $u_{p}=u_{0}+p\times r$ .

1^ère étape : Calcul de la raison

r

.
Pour aller du rang

1

au rang

4

, on avance de

4-1=3

rangs : on ajoute

3

fois la raison.

u_{4}=u_{1}+3r

équivaut successivement à :

1,5=-4,5+3r

3r=1,5-\left(-4,5\right)

3r=6

r=\frac{6}{3}

r=2

2^ème étape : Calcul du premier terme

u_{0}

u_{1}=u_{0}+r

équivaut successivement à :

-4,5=u_{0}+2

u_{0}=-4,5-2

u_{0}=-6,5

3^ème étape : Expression de

u_{n}

en fonction de

n

u_{n}=u_{0}+n\times r

, d'où :

u_{n}=-6,5+2n

Vérification :

u_{4}=-6,5+2\times4=1,5

: on retrouve bien la valeur de l'énoncé.

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Déterminer la raison et le premier terme à partir de deux termes - Exercice 1

u3=14u_{3}=14u3​=14 et u7=26u_{7}=26u7​=26.

u2=9u_{2}=9u2​=9 et u10=−7u_{10}=-7u10​=−7.

u5=4u_{5}=4u5​=4 et u20=10u_{20}=10u20​=10.

u1=−4,5u_{1}=-4,5u1​=−4,5 et u4=1,5u_{4}=1,5u4​=1,5.

$u_{3}=14$ et $u_{7}=26$ .

$u_{2}=9$ et $u_{10}=-7$ .

$u_{5}=4$ et $u_{20}=10$ .

$u_{1}=-4,5$ et $u_{4}=1,5$ .