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Calculs de termes : relation de récurrence et expression du terme général - Exercice 3

4 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique de raison r=6r=6 et de premier terme u1=−4u_{1} =-4.
Question 1

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n}+r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • Ainsi :
    un+1=un+6u_{n+1} =u_{n}+6
    Question 2

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
    Donner le terme général de la suite (un)\left(u_{n} \right) .
    Ces deux phrases signifient la même chose .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(n−p)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u1=−4u_{1} =-4 et la raison r=6r=6
    Il en résulte donc que :
    un=−4+(n−1)×6u_{n} =-4 +\left(n-1\right)\times 6
    un=−4+6n−6u_{n} =-4 +6n-6
    Autrement dit :
    un=−10+6nu_{n} =-10+6n

    Question 3

    Calculer u8u_{8}.

    Correction
    Pour déterminer la valeur de u8u_{8}, il est plus simple de travailler avec la formule explicite :
    un=−10+6nu_{n} =-10+6n

    Il vient alors que :
    u8=−10+6×8u_{8} =-10+6\times 8
    Ainsi :
    u8=38u_{8} =38

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